§ 6. Применение свойств арифметического квадратного корня — 18. Преобразование выражений, содержащих квадратные корни — 418 — стр. 100

\((\sqrt{4+\sqrt{7}}+\sqrt{4-\sqrt{7}})^{2}=\)

\(=4+\sqrt{7}+2 \sqrt{(4+\sqrt{7})(4-\sqrt{7})}+4-\sqrt{7}=\)

\(=8+2 \sqrt{16-7}=\)

\(=8+2 \cdot 3=14\)

Это пример применения формулы раскрытия квадрата суммы. Мы разбиваем квадрат на три части: квадрат первого члена, удвоенное произведение двух членов, и квадрат второго члена. Затем мы упрощаем выражение до конечного результата.

\((\sqrt{5+2 \sqrt{6}}-\sqrt{5-2 \sqrt{6}})^{2}=\)

\(=5+2 \sqrt{6}-2 \sqrt{(5+2 \sqrt{6})(5-2 \sqrt{6})}+5-2 \sqrt{6}=\)

\(=10-2 \sqrt{25-4 \cdot 6}=\)

\(=10-2=8\)

Здесь также применяется формула раскрытия квадрата разности. Мы используем тот же подход, что и в предыдущем случае, разделяя квадрат на три части и затем упрощаем до окончательного результата.