§ 6. Применение свойств арифметического квадратного корня — 18. Преобразование выражений, содержащих квадратные корни — 428 — стр. 102

\(\frac{1}{\sqrt{5}-2}=\frac{\sqrt{5}+2}{(\sqrt{5}-2)(\sqrt{5}+2)}=\frac{\sqrt{5}+2}{5-4}=\sqrt{5}+2\)

\(4<5<9 \Rightarrow 2<\sqrt{5}<3 \Rightarrow 4<\sqrt{5}+2<5\)

\(4<\frac{1}{\sqrt{5}-2}<5\).

\(\frac{2}{\sqrt{5}-\sqrt{3}}=\frac{2(\sqrt{5}+\sqrt{3})}{(\sqrt{5}-\sqrt{3})(\sqrt{5}+\sqrt{3})}=\frac{2(\sqrt{5}+\sqrt{3})}{5-3}=\sqrt{5}+\sqrt{3}\)

\(4<5<9 \Rightarrow 2<\sqrt{5}<3, \quad 1<3<4 \Rightarrow 1<\sqrt{3}<2\)

\(3<\sqrt{5}+\sqrt{3}<5\)

Сравним \(\sqrt{5}+\sqrt{3}\) и \(4 \)

\((\sqrt{5}+\sqrt{3})\) и \(4 \Rightarrow\sqrt{5}\) и \((4-\sqrt{3}) \Rightarrow 5\) и \((4-\sqrt{3})^{2}\)

\((4-\sqrt{3})^{2}=16-8 \sqrt{3}+9=25-8 \sqrt{3}\)

\(5 \) и \((25-8 \sqrt{3}) \Rightarrow8 \sqrt{3} \) и \(20 \Rightarrow\sqrt{3}\) и \(2,5 \Rightarrow 3<6,25\)

Следовательно, \(\sqrt{5}+\sqrt{3}<4\)

\(3<\sqrt{5}+\sqrt{3}<4\).

\(\frac{3}{\sqrt{10}+\sqrt{7}}=\frac{3(\sqrt{10}-\sqrt{7})}{(\sqrt{10}+\sqrt{7})(\sqrt{10}-\sqrt{7})}=\frac{3(\sqrt{10}-\sqrt{7})}{10-7}=\sqrt{10}-\sqrt{7}\)

\(9<10<16 \Rightarrow 3<\sqrt{10}<4, \quad 4<7<9 \Rightarrow 2<\sqrt{7}<3\)

\(-3<-\sqrt{7}<-2\)

\(0<\sqrt{10}-\sqrt{7}<2\)

Сравним \(\sqrt{10}-\sqrt{7}\) и \(1 \)

\((\sqrt{10}-\sqrt{7})\) и \(1 \Rightarrow\sqrt{10} \) и \((1+\sqrt{7}) \Rightarrow 10 \) и \((1+\sqrt{7})^{2} \Rightarrow\)

\(\Rightarrow10\) и \((8+2 \sqrt{7}) \Rightarrow2\) и \(2 \sqrt{7} \Rightarrow1<\sqrt{7}\)

Следовательно, \(\sqrt{10}-\sqrt{7}<1\)

\(0<\sqrt{10}-\sqrt{7}<1\).

\(\frac{5+3 \sqrt{3}}{\sqrt{3}+2}=\frac{(5+3 \sqrt{3})(2-\sqrt{3})}{(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})}=\frac{10+6 \sqrt{3}-5 \sqrt{3}-9}{4-3}=1+\sqrt{3}\)

\(1<3<4 \Rightarrow 1<\sqrt{3}<2 \Rightarrow 2<1+\sqrt{3}<3\)

\(=2<\frac{5+3 \sqrt{3}}{\sqrt{3}+2}<3\).