§ 6. Применение свойств арифметического квадратного корня — 18. Преобразование выражений, содержащих квадратные корни — 432 — стр. 102

В данной задаче мы ищем пары взаимно обратных чисел. Для этого мы можем воспользоваться свойствами и алгебраическими преобразованиями.
Известно, что произведение взаимно обратных чисел равно 1. Мы начинаем с поиска таких пар среди первых четырёх чисел.
Первая дробь отрицательна, а вторая положительна, и первые три числа также положительны. Значит, вероятнее всего пара образуется с последней дробью.
Давайте преобразуем её:
\(\frac{1}{\sqrt{675}-\sqrt{32}}=\frac{1}{\sqrt{225 \cdot 3}-\sqrt{16 \cdot 2}}=\frac{1}{15 \sqrt{3}-4 \sqrt{2}}\)
Таким образом, пара
\(15 \sqrt{3}-4 \sqrt{2} \text { и } \frac{1}{\sqrt{675}-\sqrt{32}}\)
являются взаимно обратными числами.
Теперь рассмотрим другие пары:
Сумма противоположных чисел равна 0. Мы имеем две отрицательные дроби:
\(\sqrt{75}-4 \sqrt{5} \text { и } \frac{1}{2 \sqrt{3}-6} \text {. Пара образуется с одним из этих чисел. }\)
Преобразуем их:
\(\sqrt{75}-4 \sqrt{5}=\sqrt{25 \cdot 3}-4 \sqrt{5}=5 \sqrt{3}-4 \sqrt{5}\)
С другой стороны:
\(\sqrt{80}-5 \sqrt{3}=\sqrt{16 \cdot 5}-5 \sqrt{3}=4 \sqrt{5}-5 \sqrt{3}\)
Таким образом, пара
\(\sqrt{75}-4 \sqrt{5} \text { и } \sqrt{80}-5 \sqrt{3}\)
являются взаимно обратными числами.
Итак, ответ: \(15 \sqrt{3}-4 \sqrt{2}\) и \(\frac{1}{\sqrt{675}-\sqrt{32}}\); \(\sqrt{75}-4 \sqrt{5}\) и \(\sqrt{80}-5 \sqrt{3}\).
Это решение позволяет нам найти взаимно обратные числа среди предложенных дробей, применяя алгебраические преобразования и свойства чисел.