§ 6. Применение свойств арифметического квадратного корня — 19. Преобразование двойных радикалов — 445 — стр. 106

Начнем с данного выражения:

\(\sqrt{\frac{b+1}{2}-\sqrt{b}}-\sqrt{\frac{b+1}{2}+\sqrt{b}}\)

Мы видим, что оно может быть переписано в виде:

\(\sqrt{\frac{b-2 \sqrt{b}+1}{2}}-\sqrt{\frac{b+2 \sqrt{b}+1}{2}}\)

Это позволяет нам выразить корни в виде квадратных выражений:

\(\sqrt{\frac{(\sqrt{b}-1)^{2}}{2}}-\sqrt{\frac{(\sqrt{b}+1)^{2}}{2}}\)

Теперь мы можем выразить корни как модули:

\(\frac{|\sqrt{b}-1|}{\sqrt{2}}-\frac{|\sqrt{b}+1|}{\sqrt{2}}\)

Поскольку \(b \geq 1\), \(|\sqrt{b}-1|=\sqrt{b}-1\) и \(|\sqrt{b}+1|=\sqrt{b}+1\).

Таким образом, мы получаем:

\(\frac{\sqrt{b}-1}{\sqrt{2}}-\frac{\sqrt{b}+1}{\sqrt{2}}=-\frac{2}{\sqrt{2}}=-\sqrt{2}\).

Теперь рассмотрим второе уравнение:

\(\sqrt{\frac{c+4}{4}+\sqrt{c}}-\sqrt{\frac{c+4}{4}-\sqrt{c}}\)

Раскрываем его:

\(\sqrt{\frac{c+4 \sqrt{c}+4}{4}}-\sqrt{\frac{c-4 \sqrt{c}+4}{4}}\)

Далее, мы можем выразить корни в виде квадратных выражений:

\(\frac{\sqrt{(\sqrt{c}+2)^{2}}}{2}-\frac{\sqrt{(\sqrt{c}-2)^{2}}}{2}\)

Теперь выражаем корни как модули:

\(\frac{|\sqrt{c}+2|}{2}-\frac{|\sqrt{c}-2|}{2}\)

Поскольку \(c \geq 4\), \(|\sqrt{c}-2|=\sqrt{c}-2\) и \(|\sqrt{c}+2|=\sqrt{c}+2\).

Таким образом, получаем:

\(\frac{\sqrt{c}+2}{2}-\frac{\sqrt{c}-2}{2}=\frac{4}{2}=2\).