§ 6. Применение свойств арифметического квадратного корня — 19. Преобразование двойных радикалов — 446 — стр. 106

Начнем с данного выражения:

\(\sqrt{a+2 \sqrt{a-1}}\)

Мы видим, что его можно переписать следующим образом:

\(\sqrt{(a-1)+2 \sqrt{a-1}+1}\)

Это позволяет нам выразить корень как квадратный корень квадрата:

\(\sqrt{(\sqrt{a-1}+1)^{2}}\)

Теперь мы можем выразить его как модуль:

\(|\sqrt{a-1}+1|\)

Поскольку \(a \geq 1\), корень существует, и \(|\sqrt{a-1}+1|=\sqrt{a-1}+1\).

Теперь рассмотрим второе уравнение:

\(\sqrt{a+b+1+2 \sqrt{a+b}}-\sqrt{a+b+1-2 \sqrt{a+b}}\)

Раскроем его:

\(\sqrt{(\sqrt{a+b}+1)^{2}}-\sqrt{(\sqrt{a+b}-1)^{2}}\)

Теперь выразим корни как модули:

\(|\sqrt{a+b}+1|-|\sqrt{a+b}-1|\)

Поскольку \(a+b \geq 1\), корень существует, и \(|\sqrt{a+b}+1|=\sqrt{a+b}+1\), \(|\sqrt{a+b}-1|=\sqrt{a+b}-1\).

Итак, получаем:

\(\sqrt{a+b}+1-(\sqrt{a+b}-1)=2\).