Вертикаль
2016
(Задача-исследование.) Решите уравнения:
а) \(x^{2}-5 x+6=0\) и \(6 x^{2}-5 x+1=0\);
б) \(2 x^{2}-13 x+6=0\) и \(6 x^{2}-13 x+2=0\).
1) Пусть одна группа учащихся выполнит задание а), а другая - задание б).
2) Сравните результаты и выскажите предположение о соотношении между корнями уравнений \(a x^{2}+b x+c=0\) и \(c x^{2}+\) \(+b x+a=0\).
3) Докажите, что ваше предположение верно.
а
Рассмотрим уравнения \(x^{2}-5 x+6=0\) и \(6 x^{2}-5 x+1=0:\)
Находим дискриминант: \(D=5^{2}-4 \cdot 1 \cdot 6=1\) - одинаковый для обоих уравнений.
Используем формулу квадратного корня: \(x=\frac{5 \pm 1}{2}\) и \(x=\frac{5 \pm 1}{12}\).
Получаем корни: \(x_{1}=2 ; x_{2}=3\) и \(x_{3}=\frac{1}{2} ; x_{4}=\frac{1}{3}\).
Корни образуют две взаимно обратные пары.
б
Рассмотрим уравнения \(2 x^{2}-13 x+6=0\) и \(6 x^{2}-13 x+2=0:\)
Находим дискриминант: \(D=13^{2}-4 \cdot 2 \cdot 6=121=11^{2}\) - одинаковый для обоих уравнений.
Применяем формулу квадратного корня: \(x=\frac{13 \pm 11}{4}\) и \(x=\frac{13 \pm 11}{12}\).
Получаем корни: \(x_{1}=\frac{1}{2} ; x_{2}=6\) и \(x_{3}=\frac{1}{6} ; x_{4}=2\).
Корни образуют две взаимно обратные пары.
Корни уравнений \(a x^{2}+b x+c=0\) и \(c x^{2}+b x+a=0\) образуют две взаимно обратные пары.
Оба уравнения имеют одинаковый дискриминант: \(D=b^{2}-4 a c\).
Найдем произведение корней каждой пары:
\(x_{1} x_{4} =\frac{-b-\sqrt{D}}{2 a} \cdot \frac{-b+\sqrt{D}}{2 c}=-\frac{(\sqrt{D}+b)(\sqrt{D}-b)}{4 ac}=-\frac{D-b^2}{4 ac}=-\frac{b^2-D}{4 ac}=\frac{b^2-(b^2-4ac)}{4 ac}=1\)
\(x_{2} x_{3} =\frac{-b+\sqrt{D}}{2 a} \cdot \frac{-b-\sqrt{D}}{2 c}=...=1\)
Таким образом, гипотеза подтверждается: пары корней \(\left\{x_{1} ; x_{4}\right\}\) и \(\left\{x_{2} ; x_{3}\right\}\) являются взаимно обратными.
Решебник
"Алгебра - Учебник" по предмету Алгебра за 8 класс.
Aвторы:
Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И., Суворова С.Б.
Задание
(Задача-исследование.) Решите уравнения: а) \(x^{2}-5 x+6=0\) и \(6 x^{2}-5 x+1=0\); б) \(2 x^{2}-13 x+6=0\) и \(6 x^{2}-13 x+2=0\). 1) Пусть одна группа учащихся выполнит задание а), а другая - задание б). 2) Сравните результаты и выскажите предположение о соотношении между корнями уравнений \(a x^{2}+b x+c=0\) и \(c x^{2}+\) \(+b x+a=0\). 3) Докажите, что ваше предположение верно.
Еще решебники за 8 класс
Мы подобрали сборники ГДЗ за 8 класс, которые могут быть Вам интересны.
