§ 7. Квадратное уравнение и его корни — 22. Решение задач — 565 — стр. 130

Изначально мы определяем, что \(a\) и \(b\) являются катетами, а \(c\) - гипотенузой. Известно, что \(a = c - 3\) и \(b = c - 6\), откуда следует, что \(c > 6\).

Используя теорему Пифагора для прямоугольного треугольника:
\(a^2 + b^2 = c^2\)
Подставляя выражения для катетов, получаем:
\((c - 3)^2 + (c - 6)^2 = c^2\)
Решаем:
\(c^2 - 6c + 9 + c^2 - 12c + 36 = c^2 \\c^2 - 18c + 45 = 0 \\D = 9^2 - 45 = 36 = 6^2 \\c =9\pm 6 \\c_1 = 3, \quad c_2 = 15\)
Из условия \(c > 6\), выбираем \(c = 15 \, \text{см}\).

Ответ: \(15 \, \text{см}\).