§ 7. Квадратное уравнение и его корни — 22. Решение задач — 570 — стр. 131

Изначально у нас есть уравнение, определяющее общее количество матчей, которые сыграли команды-участницы:

\(\frac{n(n-1)}{2} = 36\)
После разбиения уравнения и упрощения мы получаем квадратное уравнение:
\(n^2 - n - 72 = 0\)
Вычисляем дискриминант:
\(D = 1 + 4 \cdot 72 = 289 = 17^2\)
Решаем квадратное уравнение:
\(n = \frac{1 \pm 17}{2} = \{-8, 9\}\)
Выбираем положительное натуральное число: \(n = 9\) команд.

Таким образом, ответ: 9.