§ 7. Квадратное уравнение и его корни — 22. Решение задач — 571 — стр. 131

Изначально у нас есть уравнение, определяющее общее количество партий, которые сыграли шахматисты:
\(\frac{n(n-1)}{2} = 45\)
После разбиения уравнения и упрощения мы получаем квадратное уравнение:
\(n^2 - n - 90 = 0\)
Вычисляем дискриминант:
\(D = 1 + 4 \cdot 90 = 361 = 19^2\)
Решаем квадратное уравнение:
\(n = \frac{1 \pm 19}{2} = \{-9, 10\}\)
Выбираем положительное натуральное число: \(n = 10\) шахматистов.

Таким образом, ответ: 10.