§ 7. Квадратное уравнение и его корни — 22. Решение задач — 572 — стр. 131

Мы начинаем с определения площади основания, которая составляет \( 800 \) квадратных сантиметров. Это позволяет нам сформулировать квадратное уравнение:
\((40 - 2x)(60 - 2x) = 800\)
После раскрытия скобок и упрощения, мы получаем квадратное уравнение:
\(4x^2 - 200x + 1600 = 0\)
Делим на 4:
\(x^2 - 50x + 400 = 0\)
Далее, вычисляем дискриминант:
\(D = 25^2 - 400 = 225 = 15^2\)
Решаем уравнение и получаем два корня:
\(x = 25 \pm 15 = \{10, 40\}\)
Теперь мы должны убедиться, что \(x\) должен быть меньше половины ширины каждого измерения основания, то есть меньше 20 см и 30 см.
\(\begin{cases}40-2x>0 \Rightarrow x<20\\60-2x>0\Rightarrow x<30\end{cases}\Rightarrow x<20\)
Исходя из этого, выбираем меньший корень \(x = 10\) см в качестве ответа.

Таким образом, ответ: 10 см.