§ 7. Квадратное уравнение и его корни — 23. Теорема Виета — 589 — стр. 135

У нас есть система уравнений:
\(\begin{cases}x_1 + x_2 = -2 \\x_1^2 - x_2^2 = 12 \\x_1 \cdot x_2 = q\end{cases}\)
Сначала мы используем разность квадратов: \(x_1^2 - x_2^2 = (x_1 - x_2)(x_1 + x_2)\).
По условию, \(x_1 + x_2 = -2\) и \(x_1^2 - x_2^2 = 12\), поэтому \(x_1 - x_2 = \frac{x_1^2 - x_2^2}{x_1 + x_2} = \frac{12}{-2} = -6\).

Теперь у нас есть система двух уравнений:
\(\begin{cases}x_1 + x_2 = -2 \\x_1 - x_2 = -6\end{cases}\)
Решая эту систему, мы находим, что \(x_1 = -4\) и \(x_2 = 2\).

Используя второе уравнение, мы находим произведение корней: \(q = -4 \cdot 2 = -8\).

Таким образом, решение и полученное произведение корней \(q = -8\) соответствует условиям задачи.