§ 7. Квадратное уравнение и его корни — 23. Теорема Виета — 597 — стр. 136

У нас есть прямоугольник со сторонами \(a\) и \(b\).

Из условия задачи у нас есть два уравнения:
1. \(a = b + 14\)
2. \(a^2 + b^2 = 34^2\)
Подставляем значение \(a\) из первого уравнения во второе:
\((b + 14)^2 + b^2 = 34^2\)
\(b^2 + 28b + 14^2 + b^2 = 34^2\)
\(2b^2 + 28b = 34^2 - 14^2\)
\(2b^2 + 28b = 960\)
\(b^2 + 14b - 480 = 0\)
Это квадратное уравнение вида \(b^2 + 14b - 480 = 0\). Решаем его:
\((b + 30)(b - 16) = 0\)
\(b_1 = -30, \quad b_2 = 16\)
Так как длины сторон не могут быть отрицательными, выбираем положительный корень \(b = 16\) см.

Теперь можем найти вторую сторону:
\(a = 16 + 14 = 30\) см.

Таким образом, длины сторон прямоугольника составляют 30 см и 16 см.