§ 8. Квадратный трёхчлен — 24. Квадратный трёхчлен и его корни — 613 — стр. 140

Рассмотрим прямоугольный треугольник со сторонами \(x\) см и \(6-x\) см. Пусть \(x\) представляет собой один из катетов.

Площадь такого треугольника равна:
\(S=\frac{1}{2}x(6-x)=\frac{1}{2}(6x-x^2)=-\frac{1}{2}((x^2-6x+9)-9)=-\frac{1}{2}(x-3)^2+\frac{9}{2}\)
Мы получили квадратное выражение, которое можно представить в виде \(-\frac{1}{2}(x-3)^2+\frac{9}{2}\). Так как \(-\frac{1}{2}(x-3)^2\) является отрицательным или нулевым, то максимальное значение \(S\) будет достигаться, когда \(-\frac{1}{2}(x-3)^2\) равно нулю, то есть когда \(x=3\).

Таким образом, максимальная площадь \(S\) равна \(\frac{9}{2}=4.5\) \(\text{см}^2\), и это достигается при \(a=b=3\) см.