§ 9. Дробные рациональные уравнения — 26. Решение дробных рациональных уравнений — 631 — стр. 148

Рассмотрим уравнение \(\frac{y^{2}}{y+3}=\frac{y}{y+3}\).

Вычитаем вторую дробь из первой:

\(\frac{y^{2}}{y+3}-\frac{y}{y+3}=0\)

Факторизуем числитель:

\(\frac{y^{2}-y}{y+3}=0\)

Теперь решим уравнение и учтем ограничение в знаменателе:

\(\begin{cases}y^{2}-y=0 \\ y+3 \neq 0\end{cases} \Rightarrow\begin{cases}y(y-1)=0 \\ y \neq-3\end{cases} \Rightarrow y=\{0 ; 1\}\)

Таким образом, решение уравнения \(\frac{y^{2}}{y+3}=\frac{y}{y+3}\) - это \(y=\{0 ; 1\}\).

Теперь рассмотрим уравнение \(\frac{x^{2}}{x^{2}-4}=\frac{5 x-6}{x^{2}-4}\).

Вычитаем вторую дробь из первой:

\(\frac{x^{2}}{x^{2}-4}-\frac{5 x-6}{x^{2}-4}=0\)

Факторизуем числитель:

\(\frac{x^{2}-5 x+6}{x^{2}-4}=0\)

Теперь решим уравнение и учтем ограничение в знаменателе:

\(\begin{cases}x^{2}-5 x+6=0 \\ x^{2}-4 \neq 0\end{cases} \Rightarrow\begin{cases}(x-2)(x-3)=0 \\ x^{2} \neq 4\end{cases} \Rightarrow\begin{cases}x=\{2 ; 3\} \\ x \neq \pm 2\end{cases} \Rightarrow x=3\)

Таким образом, решение уравнения \(\frac{x^{2}}{x^{2}-4}=\frac{5 x-6}{x^{2}-4}\) - это \(x=3\).

Рассмотрим уравнение \(\frac{2 x^{2}}{x-2}=\frac{-7 x+6}{2-x}\).

Вычитаем вторую дробь из первой:

\(\frac{2 x^{2}}{x-2}-\frac{-7 x+6}{2-x}=0\)

Сложим дроби:

\(\frac{2 x^{2}}{x-2}+\frac{-7 x+6}{x-2}=0\)

Общий знаменатель:

\(\frac{2 x^{2}-7 x+6}{x-2}=0\)

Теперь решим уравнение и учтем ограничение в знаменателе:

\(\begin{cases}2 x^{2}-7 x+6=0 \\ x-2 \neq 0\end{cases} \Rightarrow\begin{cases}(2 x-3)(x-2)=0 \\ x-2 \neq 0\end{cases} \Rightarrow\begin{cases}x=\{1,5 ; 2\} \\ x \neq 2\end{cases} \Rightarrow x=1,5\)

Таким образом, решение уравнения \(\frac{2 x^{2}}{x-2}=\frac{-7 x+6}{2-x}\) - это \(x=1,5\).

Перейдем к уравнению \(\frac{y^{2}-6 y}{y-5}=\frac{5}{5-y}\).

Вычитаем вторую дробь из первой:

\(\frac{y^{2}-6 y}{y-5}-\frac{5}{5-y}=0\)

Сложим дроби:

\(\frac{y^{2}-6 y}{y-5}+\frac{5}{y-5}=0\)

Общий знаменатель:

\(\frac{y^{2}-6 y+5}{y-5}=0\)

Теперь решим уравнение и учтем ограничение в знаменателе:

\(\begin{cases}y^{2}-6 y+5=0 \\ y-5 \neq 0\end{cases} \Rightarrow\begin{cases}(y-1)(y-5)=0 \\ y-5 \neq 0\end{cases} \Rightarrow\begin{cases}y=\{1 ; 5\} \\ y \neq 5\end{cases} \Rightarrow y=1\)

Таким образом, решение уравнения \(\frac{y^{2}-6 y}{y-5}=\frac{5}{5-y}\) - это \(y=1\).

Переходим к уравнению \(\frac{2 x-1}{x+7}=\frac{3 x+4}{x-1}\).

Вычитаем вторую дробь из первой:

\(\frac{2 x-1}{x+7}-\frac{3 x+4}{x-1}=0\)

\(\frac{(2 x-1)(x-1)-(3 x+4)(x+7)}{(x+7)(x-1)}=0\)

Упрощаем:

\(\frac{2 x^{2}-3 x+1-(3 x^{2}+25 x+28)}{(x+7)(x-1)}=0\)

\(\frac{-x^{2}-28 x-27}{(x+7)(x-1)}=0\)

Теперь решим уравнение и учтем ограничение в знаменателе:

\(\begin{cases}-x^{2}-28 x-27=0 \\ (x+7)(x-1) \neq 0\end{cases} \Rightarrow\begin{cases}x^{2}+28 x+27=0 \\ x \neq\{-7 ; 1\}\end{cases} \Rightarrow\)

Факторизуем квадратное уравнение:

\(\begin{cases}(x+27)(x+1)=0 \\ x \neq\{-7 ; 1\}\end{cases} \Rightarrow\begin{cases}x=\{-27 ;-1\} \\ x \neq\{-7 ; 1\}\end{cases} \Rightarrow x=\{-27 ;-1\}\)

Таким образом, решение уравнения \(\frac{2 x-1}{x+7}=\frac{3 x+4}{x-1}\) - это \(x=\{-27 ;-1\}\).

Переходим к уравнению \(\frac{2 y+3}{2 y-1}=\frac{y-5}{y+3}\).

Вычитаем вторую дробь из первой:

\(\frac{2 y+3}{2 y-1}-\frac{y-5}{y+3}=0\)

\(\frac{(2 y+3)(y+3)-(y-5)(2 y-1)}{(2 y-1)(y+3)}=0\)

Упрощаем:

\(\frac{2 y^{2}+9 y+9-(2 y^{2}-11 y+5)}{(2 y-1)(y+3)}=0\)

\(\frac{20 y+4}{(2 y-1)(y+3)}=0\)

Теперь решим уравнение и учтем ограничение в знаменателе:

\(\begin{cases}20 y+4=0 \\ (2 y-1)(y+3) \neq 0\end{cases} \Rightarrow\begin{cases}y=-\frac{1}{5} \\ y \neq\left\{-3 ; \frac{1}{2}\right\}\end{cases} \Rightarrow y=-\frac{1}{5}\)

Таким образом, решение уравнения \(\frac{2 y+3}{2 y-1}=\frac{y-5}{y+3}\) - это \(y=-\frac{1}{5}\).

Перейдем к уравнению \(\frac{5 y+1}{y+1}=\frac{y+2}{y}\).

Вычитаем вторую дробь из первой:

\(\frac{5 y+1}{y+1}-\frac{y+2}{y}=0\)

\(\frac{(5 y+1) y-(y+2)(y+1)}{(y+1) y}=0\)

Упрощаем:

\(\frac{5 y^{2}+y-(y^{2}+3 y+2)}{(y+1) y}=0\)

\(\frac{4 y^{2}-2 y-2}{(y+1) y}=0\)

Теперь решим уравнение и учтем ограничение в знаменателе:

\(\begin{cases}4 y^{2}-2 y-2=0 \\ (y+1) y \neq 0\end{cases} \Rightarrow\begin{cases}2 y^{2}-y-1=0 \\ y \neq\{-1 ; 0\}\end{cases} \Rightarrow\begin{cases}(2 y+1)(y-1)=0 \\ y \neq\{-1 ; 0\}\end{cases} \Rightarrow\\\Rightarrow \begin{cases}y=\{-\frac{1}{2} ; 1\} \\ y \neq\{-1 ; 0\}\end{cases} \Rightarrow y=\{-\frac{1}{2} ; 1\}\)

Таким образом, решение уравнения \(\frac{5 y+1}{y+1}=\frac{y+2}{y}\) - это \(y=\{-\frac{1}{2} ; 1\}\).

Проанализируем уравнение \(\frac{1+3 x}{1-2 x}=\frac{5-3 x}{1+2 x}\).

Вычитаем вторую дробь из первой:

\(\frac{1+3 x}{1-2 x}-\frac{5-3 x}{1+2 x}=0\)

\(\frac{(1+3 x)(1+2 x)-(5-3 x)(1-2 x)}{(1-2 x)(1+2 x)}=0\)

Упрощаем:

\(\frac{1+5 x+6 x^{2}-(5-13 x+6 x^{2})}{(1-2 x)(1+2 x)}=0\)

\(\frac{18 x-4}{(1-2 x)(1+2 x)}=0\)

Теперь решим уравнение и учтем ограничение в знаменателе:

\(\begin{cases}18 x-4=0 \\ (1-2 x)(1+2 x) \neq 0\end{cases} \Rightarrow\begin{cases}x=\frac{2}{9} \\ x \neq \pm \frac{1}{2}\end{cases} \Rightarrow x=\frac{2}{9}\)

Таким образом, решение уравнения \(\frac{1+3 x}{1-2 x}=\frac{5-3 x}{1+2 x}\) - это \(x=\frac{2}{9}\).

Перейдем к уравнению \(\frac{x-1}{2 x+3}-\frac{2 x-1}{3-2 x}=0\).

\(\frac{x-1}{2 x+3}+\frac{2 x-1}{2 x-3}=0\)

Общий знаменатель:

\(\frac{(x-1)(2 x-3)+(2 x-1)(2 x+3)}{(2 x+3)(2 x-3)}=0\)

Упрощаем:

\(\frac{2 x^{2}-5 x+3+(4 x^{2}+4 x-3)}{(2 x+3)(2 x-3)}=0\)

\(\frac{6 x^{2}-x}{(2 x+3)(2 x-3)}=0\)

Теперь решим уравнение и учтем ограничение в знаменателе:

\(\begin{cases}6 x^{2}-x=0 \\ (2 x+3)(2 x-3) \neq 0\end{cases} \Rightarrow\begin{cases}x(6 x-1)=0 \\ x \neq \pm \frac{3}{2}\end{cases} \Rightarrow\begin{cases}x=\{0 ; \frac{1}{6}\} \\ x \neq \pm \frac{3}{2}\end{cases} \Rightarrow x=\{0 ; \frac{1}{6}\}\)

Таким образом, решение уравнения \(\frac{x-1}{2 x+3}-\frac{2 x-1}{3-2 x}=0\) - это \(x=\{0 ; \frac{1}{6}\}\).