§ 9. Дробные рациональные уравнения — 26. Решение дробных рациональных уравнений — 631 — стр. 148

Рассмотрим уравнение $\frac{y^2}{y+3}=\frac{y}{y+3}$.

Вычитаем вторую дробь из первой:

$\frac{y^2}{y+3}-\frac{y}{y+3}=0$

Факторизуем числитель:

$\frac{y^2-y}{y+3}=0$

Теперь решим уравнение и учтем ограничение в знаменателе:

$\{\begin{array}{l}{y}^2-y=0\\ y+3\ne 0\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}y(y-1)=0\\ y\ne -3\end{array}\Rightarrow y=\{0;1\}$

Таким образом, решение уравнения $\frac{y^2}{y+3}=\frac{y}{y+3}$ - это $y=\{0;1\}$.

Теперь рассмотрим уравнение $\frac{x^2}{x^2-4}=\frac{5x-6}{x^2-4}$.

Вычитаем вторую дробь из первой:

$\frac{x^2}{x^2-4}-\frac{5x-6}{x^2-4}=0$

Факторизуем числитель:

$\frac{x^2-5x+6}{x^2-4}=0$

Теперь решим уравнение и учтем ограничение в знаменателе:

$\{\begin{array}{l}{x}^2-5x+6=0\\ x^2-4\ne 0\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}(x-2)(x-3)=0\\ x^2\ne 4\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}x=\{2;3\}\\ x\ne \pm 2\end{array}\Rightarrow x=3$

Таким образом, решение уравнения $\frac{x^2}{x^2-4}=\frac{5x-6}{x^2-4}$ - это $x=3$.

Рассмотрим уравнение $\frac{2x^2}{x-2}=\frac{-7x+6}{2-x}$.

Вычитаем вторую дробь из первой:

$\frac{2x^2}{x-2}-\frac{-7x+6}{2-x}=0$

Сложим дроби:

$\frac{2x^2}{x-2}+\frac{-7x+6}{x-2}=0$

Общий знаменатель:

$\frac{2x^2-7x+6}{x-2}=0$

Теперь решим уравнение и учтем ограничение в знаменателе:

$\{\begin{array}{l}2x^2-7x+6=0\\ x-2\ne 0\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}(2x-3)(x-2)=0\\ x-2\ne 0\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}x=\{1,5;2\}\\ x\ne 2\end{array}\Rightarrow x=1,5$

Таким образом, решение уравнения $\frac{2x^2}{x-2}=\frac{-7x+6}{2-x}$ - это $x=1,5$.

Перейдем к уравнению $\frac{y^2-6y}{y-5}=\frac{5}{5-y}$.

Вычитаем вторую дробь из первой:

$\frac{y^2-6y}{y-5}-\frac{5}{5-y}=0$

Сложим дроби:

$\frac{y^2-6y}{y-5}+\frac{5}{y-5}=0$

Общий знаменатель:

$\frac{y^2-6y+5}{y-5}=0$

Теперь решим уравнение и учтем ограничение в знаменателе:

$\{\begin{array}{l}{y}^2-6y+5=0\\ y-5\ne 0\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}(y-1)(y-5)=0\\ y-5\ne 0\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}y=\{1;5\}\\ y\ne 5\end{array}\Rightarrow y=1$

Таким образом, решение уравнения $\frac{y^2-6y}{y-5}=\frac{5}{5-y}$ - это $y=1$.

Переходим к уравнению $\frac{2x-1}{x+7}=\frac{3x+4}{x-1}$.

Вычитаем вторую дробь из первой:

$\frac{2x-1}{x+7}-\frac{3x+4}{x-1}=0$

$\frac{(2x-1)(x-1)-(3x+4)(x+7)}{(x+7)(x-1)}=0$

Упрощаем:

$\frac{2x^2-3x+1-(3x^2+25x+28)}{(x+7)(x-1)}=0$

$\frac{-x^2-28x-27}{(x+7)(x-1)}=0$

Теперь решим уравнение и учтем ограничение в знаменателе:

$\{\begin{array}{l}-x^2-28x-27=0\\ (x+7)(x-1)\ne 0\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}{x}^2+28x+27=0\\ x\ne \{-7;1\}\end{array}\Rightarrow$

Факторизуем квадратное уравнение:

$\{\begin{array}{l}(x+27)(x+1)=0\\ x\ne \{-7;1\}\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}x=\{-27;-1\}\\ x\ne \{-7;1\}\end{array}\Rightarrow x=\{-27;-1\}$

Таким образом, решение уравнения $\frac{2x-1}{x+7}=\frac{3x+4}{x-1}$ - это $x=\{-27;-1\}$.

Переходим к уравнению $\frac{2y+3}{2y-1}=\frac{y-5}{y+3}$.

Вычитаем вторую дробь из первой:

$\frac{2y+3}{2y-1}-\frac{y-5}{y+3}=0$

$\frac{(2y+3)(y+3)-(y-5)(2y-1)}{(2y-1)(y+3)}=0$

Упрощаем:

$\frac{2y^2+9y+9-(2y^2-11y+5)}{(2y-1)(y+3)}=0$

$\frac{20y+4}{(2y-1)(y+3)}=0$

Теперь решим уравнение и учтем ограничение в знаменателе:

$\{\begin{array}{l}20y+4=0\\ (2y-1)(y+3)\ne 0\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}y=-\frac{1}{5}\\ y\ne \{-3;\frac{1}{2}\}\end{array}\Rightarrow y=-\frac{1}{5}$

Таким образом, решение уравнения $\frac{2y+3}{2y-1}=\frac{y-5}{y+3}$ - это $y=-\frac{1}{5}$.

Перейдем к уравнению $\frac{5y+1}{y+1}=\frac{y+2}{y}$.

Вычитаем вторую дробь из первой:

$\frac{5y+1}{y+1}-\frac{y+2}{y}=0$

$\frac{(5y+1)y-(y+2)(y+1)}{(y+1)y}=0$

Упрощаем:

$\frac{5y^2+y-(y^2+3y+2)}{(y+1)y}=0$

$\frac{4y^2-2y-2}{(y+1)y}=0$

Теперь решим уравнение и учтем ограничение в знаменателе:

$$\begin{gathered} \{\begin{array}{l}4y^2-2y-2=0\\ (y+1)y\ne 0\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}2y^2-y-1=0\\ y\ne \{-1;0\}\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}(2y+1)(y-1)=0\\ y\ne \{-1;0\}\end{array}\Rightarrow \\ \Rightarrow \{\begin{array}{l}y=\{-\frac{1}{2};1\}\\ y\ne \{-1;0\}\end{array}\Rightarrow y=\{-\frac{1}{2};1\} \end{gathered}$$

Таким образом, решение уравнения $\frac{5y+1}{y+1}=\frac{y+2}{y}$ - это $y=\{-\frac{1}{2};1\}$.

Проанализируем уравнение $\frac{1+3x}{1-2x}=\frac{5-3x}{1+2x}$.

Вычитаем вторую дробь из первой:

$\frac{1+3x}{1-2x}-\frac{5-3x}{1+2x}=0$

$\frac{(1+3x)(1+2x)-(5-3x)(1-2x)}{(1-2x)(1+2x)}=0$

Упрощаем:

$\frac{1+5x+6x^2-(5-13x+6x^2)}{(1-2x)(1+2x)}=0$

$\frac{18x-4}{(1-2x)(1+2x)}=0$

Теперь решим уравнение и учтем ограничение в знаменателе:

$\{\begin{array}{l}18x-4=0\\ (1-2x)(1+2x)\ne 0\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}x=\frac{2}{9}\\ x\ne \pm \frac{1}{2}\end{array}\Rightarrow x=\frac{2}{9}$

Таким образом, решение уравнения $\frac{1+3x}{1-2x}=\frac{5-3x}{1+2x}$ - это $x=\frac{2}{9}$.

Перейдем к уравнению $\frac{x-1}{2x+3}-\frac{2x-1}{3-2x}=0$.

$\frac{x-1}{2x+3}+\frac{2x-1}{2x-3}=0$

Общий знаменатель:

$\frac{(x-1)(2x-3)+(2x-1)(2x+3)}{(2x+3)(2x-3)}=0$

Упрощаем:

$\frac{2x^2-5x+3+(4x^2+4x-3)}{(2x+3)(2x-3)}=0$

$\frac{6x^2-x}{(2x+3)(2x-3)}=0$

Теперь решим уравнение и учтем ограничение в знаменателе:

$\{\begin{array}{l}6x^2-x=0\\ (2x+3)(2x-3)\ne 0\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}x(6x-1)=0\\ x\ne \pm \frac{3}{2}\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}x=\{0;\frac{1}{6}\}\\ x\ne \pm \frac{3}{2}\end{array}\Rightarrow x=\{0;\frac{1}{6}\}$

Таким образом, решение уравнения $\frac{x-1}{2x+3}-\frac{2x-1}{3-2x}=0$ - это $x=\{0;\frac{1}{6}\}$.