§ 9. Дробные рациональные уравнения — 26. Решение дробных рациональных уравнений — 632 — стр. 148

Рассмотрим уравнение \(\frac{2 x-5}{x+5}-4=0\).

Выразим общий знаменатель:

\(\frac{2 x-5-4(x+5)}{x+5}=0\)

Упростим:

\(\frac{-2 x-25}{x+5}=0\)

Теперь решим уравнение и учтем ограничение в знаменателе:

\(\begin{cases}-2 x-25=0 \\ x+5 \neq 0\end{cases} \Rightarrow\begin{cases}x=-12,5 \\ x \neq-5\end{cases} \Rightarrow x=-12,5\)

Таким образом, решение уравнения \(\frac{2 x-5}{x+5}-4=0\) - это \(x=-12,5\).

Рассмотрим уравнение \(\frac{12}{7-x}=x\).

Выразим общий знаменатель:

\(\frac{12}{7-x}-x=0\)

\(\frac{12-x(7-x)}{7-x}=0\)

Упростим:

\(\frac{x^{2}-7 x+12}{7-x}=0\)

Теперь решим уравнение и учтем ограничение в знаменателе:

\(\begin{cases}x^{2}-7 x+12=0 \\ 7-x \neq 0\end{cases} \Rightarrow\begin{cases}(x-3)(x-4)=0 \\ x \neq 7\end{cases} \Rightarrow\begin{cases}x_{1}=3, x_{2}=4 \\ x \neq 7\end{cases} \Rightarrow x_{1}=3, x_{2}=4\).

Рассмотрим уравнение \(\frac{x^{2}-4}{4 x}=\frac{3 x-2}{2 x}\).

Выразим общий знаменатель:

\(\frac{x^{2}-4}{4 x}-\frac{3 x-2}{2 x}=0\)

\(\frac{x^{2}-4-2(3 x-2)}{4 x}=0\)

Упростим:

\(\frac{x^{2}-6 x}{4 x}=0\)

Теперь решим уравнение и учтем ограничение в знаменателе:

\(\begin{cases}x^{2}-6 x=0 \\ 4 x \neq 0\end{cases} \Rightarrow\begin{cases}x(x-6)=0 \\ x \neq 0\end{cases} \Rightarrow\begin{cases}x_{1}=0, x_{2}=6 \\ x \neq 0\end{cases} \Rightarrow x=6\).

Рассмотрим уравнение \(\frac{10}{2 x-3}=x-1\).

Выразим общий знаменатель:

\(\frac{10}{2 x-3}-(x-1)=0\)

\(\frac{10-(x-1)(2 x-3)}{2 x-3}=0\)

Упростим:

\(\frac{10-(2 x^{2}-5 x+3)}{2 x-3}=0\)

\(\frac{-2 x^{2}+5 x+7}{2 x-3}=0\)

Теперь решим уравнение и учтем ограничение в знаменателе:

\(\begin{cases}-2 x^{2}+5 x+7=0 \\ 2 x-3 \neq 0\end{cases} \Rightarrow\begin{cases}2 x^{2}-5 x-7=0 \\ x \neq 1,5\end{cases} \Rightarrow\begin{cases}(2 x-7)(x+1)=0 \\ x \neq 1,5\end{cases} \Rightarrow\)

\(\Rightarrow\begin{cases}x_{1}=-1, x_{2}=3,5 \\ x \neq 1,5\end{cases} \Rightarrow x_{1}=-1, x_{2}=3,5\).

Рассмотрим уравнение \(\frac{8}{x}=3 x+2\).

Выразим общий знаменатель:

\(\frac{8}{x}-(3 x+2)=0\)

\(\frac{8-x(3 x+2)}{x}=0\)

Упростим:

\(\frac{-3 x^{2}-2 x+8}{x}=0\)

Теперь решим уравнение и учтем ограничение в знаменателе:

\(\begin{cases}-3 x^{2}-2 x+8=0 \\ x \neq 0\end{cases} \Rightarrow\begin{cases}3 x^{2}+2 x-8=0 \\ x \neq 0\end{cases} \Rightarrow\begin{cases}(3 x-4)(x+2)=0 \\ x \neq 0\end{cases} \Rightarrow\)

\(\Rightarrow\begin{cases}x_{1}=-2, x_{2}=1 \frac{1}{3} \\ x \neq 0\end{cases} \Rightarrow x_{1}=-2, x_{2}=1 \frac{1}{3}\).

Рассмотрим уравнение \(\frac{x^{2}+4 x}{x+2}=\frac{2 x}{3}\).

Выразим общий знаменатель:

\(\frac{x^{2}+4 x}{x+2}-\frac{2 x}{3}=0\)

\(\frac{3(x^{2}+4 x)-2 x(x+2)}{3(x+2)}=0\)

Упростим:

\(\frac{3 x^{2}+12 x-2 x^{2}-4 x}{3(x+2)}=0\)

\(\frac{x^{2}+8 x}{3(x+2)}=0\)

Теперь решим уравнение и учтем ограничение в знаменателе:

\(\begin{cases}x^{2}+8 x=0 \\ 3(x+2) \neq 0\end{cases} \Rightarrow\begin{cases}x(x+8)=0 \\ x \neq-2\end{cases} \Rightarrow\begin{cases}x_{1}=-8, x_{2}=0 \\ x \neq-2\end{cases} \Rightarrow x_{1}=-8, x_{2}=0\).

Рассмотрим уравнение \(\frac{2 x^{2}-5 x+3}{10 x-5}=0\).

Теперь решим уравнение и учтем ограничение в знаменателе:

\(\begin{cases}2 x^{2}-5 x+3=0 \\ 10 x-5 \neq 0\end{cases} \Rightarrow\begin{cases}(2 x-3)(x-1)=0 \\ x \neq 0,5\end{cases} \Rightarrow\begin{cases}x_{1}=1, x_{2}=1,5 \\ x \neq 0,5\end{cases} \Rightarrow x_{1}=1, x_{2}=1,5\).

Рассмотрим уравнение \(\frac{4 x^{3}-9 x}{x+1,5}=0\).

Теперь решим уравнение и учтем ограничение в знаменателе:

\(\begin{cases}4 x^{3}-9 x=0 \\ x+1,5 \neq 0\end{cases} \Rightarrow\begin{cases}x(4 x^{2}-9)=0 \\ x \neq-1,5\end{cases} \Rightarrow\begin{cases}x(2 x-3)(2 x+3)=0 \\ x \neq-1,5\end{cases} \Rightarrow\)

\(\Rightarrow \begin{cases}x_{1}=0, x_{2,3}= \pm 1,5\\x \neq-1,5\end{cases} \Rightarrow x_1=0, x_2=1.5 \).