§ 9. Дробные рациональные уравнения — 26. Решение дробных рациональных уравнений — 634 — стр. 149

Рассмотрим уравнение $\frac{3x+1}{x+2}-\frac{x-1}{x-2}=1$.

Мы умножаем обе стороны на $(x+2)(x-2)$ для избавления от знаменателей и получения квадратного уравнения.

$(3x+1)(x-2)-(x-1)(x+2)=(x+2)(x-2)$

Теперь решим полученное квадратное уравнение, учитывая ограничения:

$3x^2-5x-2-(x^2+x-2)=x^2-4$

$x^2-6x+4=0$

Решив квадратное уравнение, получаем $x_{1,2}=3\pm \sqrt{5}$. Вместе с ограничениями $x\ne \pm 2$, решение становится $x_{1,2}=3\pm \sqrt{5}$.

Рассмотрим уравнение $\frac{2y-2}{y+3}+\frac{y+3}{y-3}=5$.

Умножим обе стороны на $(y+3)(y-3)$ для избавления от знаменателей.

$(2y-2)(y-3)+(y+3{)}^2=5(y+3)(y-3)$

Теперь решим полученное уравнение:

$2y^2-8y+6+y^2+6y+9=5(y^2-9)$

$2y^2+2y-60=0$

$y^2+y-30=0$

Решив квадратное уравнение, получаем $y_1=-6,y_2=5$. Вместе с ограничениями $y\ne \pm 3$, решение становится $y_1=-6,y_2=5$.

Рассмотрим уравнение $\frac{4}{9y^2-1}-\frac{4}{3y+1}=\frac{5}{1-3y}$.

Перепишем уравнение в виде $\frac{4}{9y^2-1}-\frac{4}{3y+1}=-\frac{5}{3y-1}$.

Умножим обе стороны на $(3y+1)(3y-1)$.

$4-4(3y-1)+5(3y+1)=0$

Теперь решим полученное уравнение, учитывая ограничения:

$4-12y+4+15y+5=0$

$3y+13=0$

$y=-4\frac{1}{3}$

Вместе с ограничениями $y\ne \pm \frac{1}{3}$, решение становится $y=-4\frac{1}{3}$.

Рассмотрим уравнение $\frac{4}{x+3}-\frac{5}{3-x}=\frac{1}{x-3}-1$.

$\frac{4}{x+3}+\frac{5}{x-3}-\frac{1}{x-3}+1=0$

Упростим:

$\frac{4}{x+3}+\frac{4}{x-3}+1=0$

Умножим обе стороны на $(x+3)(x-3)$.

$4(x-3)+4(x+3)+x^2-9=0$

Решим полученное квадратное уравнение:

$x^2+8x-9=0$

$x_1=-9,x_2=1$

Вместе с ограничениями $x\ne \pm 3$, решение становится $x_1=-9,x_2=1$.

Рассмотрим уравнение $\frac{3}{x}+\frac{4}{x-1}=\frac{5-x}{x^2-x}$.

Умножим обе стороны на $x(x-1)$.

$3(x-1)+4x=(5-x)$

Решаем уравнение:

$8x=8$

$x=1$

Вместе с ограничениями $x\ne \{0;1\}$, решений нет.

Рассмотрим уравнение $\frac{3y-2}{y}-\frac{1}{y-2}=\frac{3y+4}{y^2-2y}$.

Умножим обе стороны на $y(y-2)$.

$(3y-2)(y-2)-y=(3y+4)$

Решаем уравнение:

$3y^2-8y+4-y=3y+4$

$3y^2-12y=0$

$3y(y-4)=0$

$y_1=0,y_2=4$

Вместе с ограничениями $y\ne \{0;2\}$, решение становится $y_1=0,y_2=4$.