§ 9. Дробные рациональные уравнения — 26. Решение дробных рациональных уравнений — 635 — стр. 149

Данное уравнение имеет вид \(y=\frac{2x-1}{x+6}\). Мы хотим выразить \(x\) через \(y\), для этого умножим обе стороны на \((x+6)\), чтобы избавиться от знаменателя:

\(y(x+6) = 2x - 1\)

Раскроем скобки:

\(xy + 6y = 2x - 1\)

Теперь выразим \(x\):

\(x(y - 2) = -6y - 1\)

\(x = -\frac{6y + 1}{y - 2}\)

Область допустимых значений для \(y: y \in (-\infty, 2) \cup (2, +\infty)\).

Оформим расчеты в виде таблицы:

\(\begin{array}c\hline y & 5 & -3& 0& 2\\\hline x & -10 \frac{1}{3} & -3 \frac{2}{5} & \frac{1}{2} & \emptyset\\\hline\end{array}\).

Теперь рассмотрим уравнение \(y = \frac{x^2 + x - 2}{x + 3}\). Хотим выразить \(x\) через \(y\). Умножим обе стороны на \((x + 3)\) для избавления от знаменателя:

\(y(x + 3) = x^2 + x - 2\)

Раскроем скобки:

\(x^2 + x - xy=3y+2\)

Приведем уравнение к квадратному виду:

\(x^2 + (1 - y)x - (3y + 2) = 0\)

Теперь найдем дискриминант и корни \(x\):

\(D = (1 - y)^2 + 4(3y + 2) = y^2 + 10y + 9\)

\(x_{1,2} = \frac{y - 1 \pm \sqrt{y^2+10y+9}}{2}\)

Рассмотрим область допустимых значений для \(y\):

\(y^2 + 10y + 9 \geq 0\)

\((y + 9)(y + 1) \geq 0\)

\(y \in (-\infty, -9) \cup (-1, +\infty)\)

Проанализируем соответствие данным значениям \(y\) требованию допустимости:

\(\begin{array}c\hline y & ? \\\hline -10 & + \\0 & + \\-5 & - \\\hline\end{array}\)

\(y = -5\) является недопустимым значением.

Теперь найдем \(x\) для \(y = \{-10, 0\}\):

\(\begin{array}c\hline y & -10 & 0 \\\hline D = y^2 + 10y + 9 & 9 & 9 \\\hline x_{1,2} = \frac{y - 1 \pm \sqrt{D}}{2} & -7 и -4 & -2 и 1\\\hline\end{array}\).