§ 9. Дробные рациональные уравнения — 26. Решение дробных рациональных уравнений — 636 — стр. 149

Рассмотрим уравнение \(\frac{x-4}{x-5}+\frac{x-6}{x+5}=2\). Умножим обе части на \((x-5)(x+5)\), чтобы избавиться от знаменателей:

\((x-4)(x+5) + (x-6)(x-5) = 2(x^2 - 25)\)

Раскроем скобки:

\(x^2 + x - 20 + x^2 - 11x + 30 = 2x^2 - 50\)

\(-10x = -60\)

\(x = 6\)

Вместе с требованиями по допустимым значениям: \(x = 6, x \neq \pm 5\).

Рассмотрим уравнение \(\frac{1}{2-x}-1=\frac{1}{x-2}-\frac{6-x}{3x^2-12}\). Преобразуем его:

\(-\frac{1}{x-2}-1=\frac{1}{x-2}-\frac{6-x}{3(x^2-4)}\)

\(\frac{2}{x-2}-\frac{6-x}{3(x^2-4)}+1=0\)

Умножим на \(3(x-2)(x+2)\):

\(6(x+2) - (6-x) + 3(x^2-4) = 0\)

Раскроем скобки и приведем подобные:

\(6x + 12 - 6 + x + 3x^2 - 12 = 0\)

\(3x^2 + 7x - 6 = 0\)

Решим уравнение:

\((3x-2)(x+3) = 0\)

\(x_1 = -3, x_2 = \frac{2}{3}\)

Вместе с требованиями по допустимым значениям: \(x_1 = -3, x_2 = \frac{2}{3}, x \neq \pm 2\).

Рассмотрим уравнение \(\frac{7y-3}{y-y^2}=\frac{1}{y-1}-\frac{5}{y(y-1)}\). Преобразуем его:

\(-\frac{7y-3}{y^2-y}=\frac{1}{y-1}-\frac{5}{y(y-1)}\)

\(\frac{1}{y-1}-\frac{5}{y(y-1)}+\frac{7y-3}{y(y-1)}=0\)

\(\frac{1}{y-1}+\frac{7y-8}{y(y-1)}=0\)

Умножим на \(y(y-1)\):

\(y + 7y - 8 = 0\)

\(y = 1\)

Вместе с требованиями по допустимым значениям: \(y = 1, y \neq \{0, 1\}\). Решений нет, так как они не удовлетворяют требованиям.

Рассмотрим уравнение \(\frac{3}{y-2}+\frac{7}{y+2}=\frac{10}{y}\).

Умножим на \(y(y-2)(y+2)\):

\(3y(y+2) + 7y(y-2) =10(y^2-4)\)

\(3y^2+6y+7y^2-14y=10y^2-40\)

\(-8y = -40\)

\(y = 5\)

Вместе с требованиями по допустимым значениям: \(y = 5, y \neq \{0, \pm 2\}\).

Рассмотрим уравнение \(\frac{x+3}{x-3}+\frac{x-3}{x+3}=\frac{10}{3}\). Преобразуем его:

\(3(x+3)^2 + 3(x-3)^2 = 10(x^2 - 9)\)

\(3(x^2 +6x+9)+3(x^2-6x+9)=10x^2-90\)

\(4x^2 = 144\)

\(x^2 = 36\)

\(x_1 = -6, x_2 = 6\)

Вместе с требованиями по допустимым значениям: \(x_1 = -6, x_2 = 6, x \neq \pm 3\).

Рассмотрим уравнение \(\frac{5x+7}{x-2}-\frac{2x+21}{x+2}=\frac{26}{3}\). Преобразуем его:

\(3(5x+7)(x+2) - 3(2x+21)(x-2) = 26(x^2 - 4)\)

\(3(5x^2+17x+14)-3(2x^2+17x-42) = 26x^2 - 104\)

\(9x^2 + 168 = 26x^2 - 104\)

\(17x^2 =272\)

\(x^2 =16\)

Решим квадратное уравнение и найдем \(x_1\) и \(x_2\).

\(x_1 = 4, x_2 = -4\)

Вместе с требованиями по допустимым значениям: \(x_1 = 4, x_2 = -4, x \neq \pm 2\).