§ 9. Дробные рациональные уравнения — 26. Решение дробных рациональных уравнений — 638 — стр. 149

Исходное уравнение:

\(\frac{5}{y-2}-\frac{4}{y-3}=\frac{1}{y}\)

Умножаем обе части на \(y(y-2)(y-3)\), чтобы избавиться от знаменателей:

\(5 y(y-3)-4 y(y-2)=(y-2)(y-3)\)

Мы имеем ограничение на \(y\), чтобы избежать деления на ноль:

\(y \neq\{0 ; 2 ; 3\}\)

Решаем уравнение:

\(5 y^{2}-15 y-4 y^{2}+8 y=y^{2}-5 y+6\)

\(-2 y=6\)

\(y=-3\)

С учетом ограничений по допустимым значениям получаем: \(y=-3\).

Исходное уравнение:

\(\frac{1}{2(x+1)}+\frac{1}{x+2}=\frac{3}{x+3}\)

Умножаем обе части на \(2(x+1)(x+2)(x+3)\), чтобы избавиться от знаменателей:

\((x+2)(x+3)+2(x+1)(x+3)=6(x+1)(x+2)\)

Решаем уравнение:

\(x^{2}+5 x+6+2(x^{2}+4 x+3)=6(x^{2}+3 x+2)\)

\(-3 x^{2}-5 x=0\)

\(-x(3 x+5)=0\)

\(x_{1}=-1 \frac{2}{3}, x_{2}=0\)

С учетом ограничений по допустимым значениям получаем: \(x_{1}=-1 \frac{2}{3}, x_{2}=0\).

Исходное уравнение:

\(\frac{1}{x+2}+\frac{1}{x^{2}-2 x}=\frac{8}{x^{3}-4 x}\)

\(\frac{1}{x+2}+\frac{1}{2(x-2)}=\frac{8}{x(x^{2}-4 x}\)

Умножаем обе части на \(x(x+2)(x-2)\), чтобы избавиться от знаменателей:

\(x(x-2)+(x+2)=8\)

Мы имеем ограничения на \(x\), чтобы избежать деления на ноль:

\(x \neq\{0 ; \pm 2\}\)

Решаем уравнение:

\(x^{2}-x-6=0\)

\((x+2)(x-3)=0\)

\(x_{1}=-2, x_{2}=3\)

С учетом ограничений по допустимым значениям получаем: \(x=3\).

Исходное уравнение:

\(\frac{10}{y^{3}-y}+\frac{1}{y-y^{2}}=\frac{1}{1+y}\)

\(\frac{10}{y(y^{2}-1)}-\frac{1}{y(y-1)}=\frac{1}{1+y}\)

Умножаем обе части на \(y(y-1)(y+1)\), чтобы избавиться от знаменателей:

\(10-(y+1)=y(y-1)\)

Мы имеем ограничения на \(y\), чтобы избежать деления на ноль:

\(y \neq\{0 ; \pm 1\}\)

Решаем уравнение:

\(9-y=y^{2}-y\)

\(y^{2}=9\)

\(y_{1,2}= \pm 3\)

С учетом ограничений по допустимым значениям получаем: \(y_{1,2}= \pm 3\).

Исходное уравнение:

\(1+\frac{45}{x^{2}-8 x+16}=\frac{14}{x-4}\)

\(1+\frac{45}{(x-4)^{2}}=\frac{14}{x-4}\)

Умножаем обе части на \((x-4)^{2}\), чтобы избавиться от знаменателей:

\((x-4)^{2}+45=14(x-4)\)

Мы имеем ограничения на \(x\), чтобы избежать деления на ноль:

\(x \neq 4\)

Решаем уравнение:

\(x^{2}-8 x+16+45=14 x-56\)

\(x^{2}-22 x+117=0\)

\((x-9)(x-13)=0\)

\(x_{1}=9, x_{2}=13\)

С учетом ограничений по допустимым значениям получаем: \(x_{1}=9, x_{2}=13\).

Исходное уравнение:

\(\frac{5}{x-1}-\frac{4}{3-6 x+3 x^{2}}=3\)

\(\frac{5}{x-1}-\frac{4}{3(1-x)^{2}}=3\)

\(\frac{5}{x-1}-\frac{4}{3(x-1)^{2}}=3\)

\(15(x-1)-4=9(x-1)^{2}\)

Решаем уравнение:

\(15x-15-4=9x^2-18x+9\)

\(9 x^{2}-33 x+28=0\)

\((3 x-7)(3 x-4)=0\)

\(x_{1}=1 \frac{1}{3}, x_{2}=2 \frac{1}{3}\)

С учетом ограничений по допустимым значениям получаем: \(x_{1}=1 \frac{1}{3}, x_{2}=2 \frac{1}{3}\).