§ 9. Дробные рациональные уравнения — 26. Решение дробных рациональных уравнений — 639 — стр. 150

Исходное уравнение:

\(\frac{10}{(x-5)(x+1)}+\frac{x}{x+1}=\frac{3}{x-5}\)

Умножаем обе части на \( (x-5)(x+1) \), чтобы избавиться от знаменателей:

\(\begin{cases}10+x(x-5)=3(x+1) \\x \neq\{-1 ; 5\}\end{cases}\)

Мы имеем ограничение на \(x\), чтобы избежать деления на ноль и сохранить область определения.

Решаем уравнение:

\(x^{2}-8 x+7=0\)

\((x-1)(x-7)=0\)

\(x_{1}=1, x_{2}=7\)

С учетом ограничений по допустимым значениям получаем: \(x_{1}=1, x_{2}=7\).

Исходное уравнение:

\(\frac{17}{(x-3)(x+4)}-\frac{1}{x-3}=\frac{x}{x+4}\)

Умножаем обе части на \( (x-3)(x+4) \), чтобы избавиться от знаменателей:

\(\begin{cases}17-(x+4)=x(x-3) \\x \neq\{-4 ; 3\}\end{cases}\)

Решаем уравнение:

\(17-x-4=x^2-3x\)

\(x^{2}-2 x-13=0\)

\(D=1+13=14\)

\(x_{1,2}=1 \pm \sqrt{14}\)

С учетом ограничений по допустимым значениям получаем: \(x_{1,2}=1 \pm \sqrt{14}\).

Исходное уравнение:

\(\frac{4}{(x+1)^{2}}-\frac{1}{(x-1)^{2}}+\frac{1}{x^{2}-1}=0\)

Умножаем обе части на \( (x+1)^{2}(x-1)^{2} \), чтобы избавиться от знаменателей:

\(\begin{cases}4(x-1)^{2}-(x+1)^{2}+x^{2}-1=0 \\x \neq \pm 1\end{cases}\)

Решаем уравнение:

\(4x^2-8x+4-x^{2}-2x-1+x^{2}-1=0\)

\(4x^2-10x+2=0\)

\(2 x^{2}-5 x+1=0\)

\(D=25-4\cdot2=17\)

\(x_{1,2}=\frac{5 \pm \sqrt{17}}{4}\)

С учетом ограничений по допустимым значениям получаем: \(x_{1,2}=\frac{5 \pm \sqrt{17}}{4}\).

Исходное уравнение:

\(\frac{4}{9 x^{2}-1}+\frac{1}{3 x^{2}-x}=\frac{4}{9 x^{2}-6 x+1}\)

Умножаем обе части на \( x(3 x-1)^{2}(3 x+1) \), чтобы избавиться от знаменателей:

\(\begin{cases}4 x(3 x-1)+(3 x-1)(3 x+1)=4 x(3 x+1) \\x \neq 0 ; \pm \frac{1}{3}\end{cases}\)

Решаем уравнение:

\(12 x^{2}-4 x+9x^2-1=12x^2+4x\)

\(9 x^{2}-8 x-1=0\)

\((9 x+1)(x-1)=0\)

\(x_{1}=-\frac{1}{9}, x_{2}=1\)

С учетом ограничений по допустимым значениям получаем: \(x_{1}=-\frac{1}{9}, x_{2}=1\).