§ 9. Дробные рациональные уравнения — 27. Решение задач — 663 — стр. 154

Для первого крана:
- Время работы: \(x\) часов,
- Скорость подъема: \(\frac{N}{x}\) тонн в час,
- Груз: \(N\) тонн.

Для второго крана:
- Время работы: \(y\) часов,
- Скорость подъема: \(\frac{N}{y}\) тонн в час,
- Груз: \(N\) тонн.

Для обоих кранов вместе:
- Общее время работы: 6 часов,
- Суммарная скорость подъема: \(\frac{N}{x} + \frac{N}{y}\) тонн в час.

Давайте рассмотрим уравнение для разницы времени работы каждого крана:
\(x - y = 5\)

И уравнение для совместной работы кранов:
\(\frac{N}{ \frac{N}{x}+ \frac{N}{y}}=6 \Rightarrow \frac{1}{ \frac{1}{x}+ \frac{1}{y}}=6 \Rightarrow \frac{x y}{x+y} = 6\)

Получаем данную систему уравнений:
\(x - y = 5 \\\frac{x y}{x+y} = 6\)

Решение приводит к:
\(x = y + 5 \)
\(\frac{(y+5) y}{y+5+y} = 6\)
\(y^2 + 5y = 6(2y+5)\)
\(y^2 - 7y - 30 = 0 \)
\((y+3)(y-10) = 0 \)

Получаем два возможных значения для \( y \): \( y_1 = -3 \) и \( y_2 = 10 \). Так как время работы не может быть отрицательным, выбираем положительное значение \( y = 10 \).

Следовательно, первому крану требуется \( 10 + 5 = 15 \) часов, а второму крану - 10 часов.

Итак, ответ: 15 часов и 10 часов.