§ 9. Дробные рациональные уравнения — 27. Решение задач — 664 — стр. 154

Для первого принтера:
- Время работы: \(x\) часов,
- Скорость производства: \(\frac{N}{x}\) деталей в час,
- Количество произведенных деталей: \(N\).

- Для второго принтера:
- Время работы: \(y\) часов,
- Скорость производства: \(\frac{N}{y}\) деталей в час,
- Количество произведенных деталей: \(N\).

- Для обоих принтеров вместе:
- Общее время работы: \(2 \frac{11}{12}\) часов (или 35/12 часов),
- Суммарная скорость производства: \(\frac{N}{x} + \frac{N}{y}\) деталей в час.

Здесь \(N\) представляет собой общее количество деталей, которые должны быть произведены. \(x\) и \(y\) обозначают время, необходимое каждому автомату для производства деталей.

Наша задача - определить время, необходимое первому для выполнения работы.

Давайте рассмотрим уравнение для разницы времени работы каждого автомата:
\(x - y = 2\)

И уравнение для совместной работы автоматов:
\(\frac{N}{\frac{N}{x} + \frac{N}{y}}=2 \frac{11}{12}\Rightarrow \frac{1}{\frac{1}{x} + \frac{1}{y}}=2 \frac{11}{12} \Rightarrow \frac{x y}{x+y} = 2 \frac{11}{12}\)

Решим данную систему уравнений:
\(\begin{cases}x - y = 2 \\\frac{x y}{x+y} = 2 \frac{11}{12}\end{cases}\)

Решение приводит к:
\(x = y + 2 \)
\(\frac{(y+2) y}{y+2+y} = \frac{35}{12} \)
\(12(y^2 + 2y) = 35(2y+2)\)
\(12y^2 - 46y - 70 = 0 \)
\(6y^2 - 23y - 35 = 0 \)
\((6y + 7)(y - 5) = 0\)

Получаем два возможных значения для \( y \): \( y_1 = -1 \frac{1}{6} \) и \( y_2 = 5 \). Так как время работы не может быть отрицательным, выбираем положительное значение \( y = 5 \).

Следовательно, первому принтеру требуется \( 5 + 2 = 7 \) часов, а второму - 5 часов.