Дополнительные упражнения к главе I — К параграфу 1 — 222 — стр. 57

Исходное выражение: \(\frac{36}{(a-b)^{2}}\).

Подставим \((a-b)^{2} = 9^{2}\), у нас получится \(\frac{36}{9^{2}}\)

Затем мы можем разложить 36 на множители и сократить:

\(\frac{4\cdot 9}{(9)^{2}} = \frac{4}{9}\)

Таким образом, исходное выражение равно \(\frac{4}{9}\).

Исходное выражение: \(\frac{108}{(b-a)^{2}}\).

Мы замечаем, что \((b-a)^{2} = (a-b)^{2}\).

\((b-a)^{2} = (a-b)^{2} = 9^{2} = 81\)

Теперь мы можем преобразовать выражение:

\(\frac{108}{(b-a)^{2}} = \frac{108}{9^{2}} = \frac{9 \cdot 12}{9^{2}} = \frac{12}{9}\)

Далее, мы можем сократить дробь:

\(\frac{12}{9} = \frac{4}{3} = 1 \frac{1}{3}\)

Таким образом, исходное выражение равно \(1 \frac{1}{3}\).

Исходное выражение: \(\frac{(5 a-5 b)^{2}}{45}\).

Мы можем выделить квадрат разности и вычислить:

\((5a - 5b)^2 = (5(a-b))^2 = 25(a-b)^2\)

Теперь мы можем подставить обратно:

\(\frac{(5 a-5 b)^{2}}{45} = \frac{25(a-b)^{2}}{45}\)

Мы можем сократить 25 и 45 на их общий множитель:

\(\frac{25(a-b)^{2}}{45} = \frac{5(a-b)^{2}}{9}\)

Затем мы можем вычислить:

\(\frac{5(a-b)^{2}}{9} = \frac{5 \cdot 9^{2}}{9} = 5 \cdot 9 = 45\)

Таким образом, исходное выражение равно 45.

Исходное выражение: \(\frac{a^{2}+a b+b^{2}}{a^{3}-b^{3}}\).

Мы можем преобразовать знаменатель с помощью разности кубов:

\(a^{3}-b^{3} = (a-b)(a^{2}+a b+b^{2})\)

Теперь мы можем сократить:

\(\frac{a^{2}+a b+b^{2}}{a^{3}-b^{3}} = \frac{a^{2}+a b+b^{2}}{(a-b)(a^{2}+a b+b^{2})}\)

И получаем:

\(\frac{1}{a-b} = \frac{1}{9}\)

Таким образом, исходное выражение равно \(\frac{1}{9}\).