Дополнительные упражнения к главе I — К параграфу 2 — 224 — стр. 57

Исходное выражение: \(\frac{x^{2}-2 x}{x-3}-\frac{4 x-9}{x-3}\).

Объединим числители:

\(\frac{x^{2}-2 x}{x-3}-\frac{4 x-9}{x-3} = \frac{x^{2}-2 x-(4 x-9)}{x-3} = \frac{x^{2}-6 x+9}{x-3}\)

Затем мы можем разложить квадрат разности:

\(\frac{x^{2}-6 x+9}{x-3} = \frac{(x-3)^{2}}{x-3}\)

Теперь мы можем сократить общий множитель:

\(\frac{(x-3)^{2}}{x-3} = x-3\)

Таким образом, исходное выражение равно \(x-3\).

Исходное выражение: \(\frac{y^{2}-10}{y-8}-\frac{54}{y-8}\).

Объединим числители:

\(\frac{y^{2}-10}{y-8}-\frac{54}{y-8} = \frac{y^{2}-10-54}{y-8}= \frac{y^{2}-64}{y-8}\)

Затем мы можем разложить квадрат разности:

\(\frac{y^{2}-64}{y-8} = \frac{(y-8)(y+8)}{y-8}\)

Теперь мы можем сократить общий множитель:

\(\frac{(y-8)(y+8)}{y-8} = y+8\)

Таким образом, исходное выражение равно \(y+8\).

Исходное выражение: \(\frac{a^{2}}{a^{2}-b^{2}}+\frac{b^{2}}{b^{2}-a^{2}}\).

Мы начинаем с разности двух дробей:

\(\frac{a^{2}}{a^{2}-b^{2}}+\frac{b^{2}}{b^{2}-a^{2}} = \frac{a^{2}}{a^{2}-b^{2}}-\frac{b^{2}}{a^{2}-b^{2}}\)

Затем мы можем объединить дроби:

\(\frac{a^{2}}{a^{2}-b^{2}}-\frac{b^{2}}{a^{2}-b^{2}} = \frac{a^{2}-b^{2}}{a^{2}-b^{2}} = 1\)

Таким образом, исходное выражение равно 1.

Исходное выражение: \(\frac{x^{2}-2 x}{x^{2}-y^{2}}-\frac{2 y-y^{2}}{y^{2}-x^{2}}\).

Мы начинаем с разности двух дробей:

\(\frac{x^{2}-2 x}{x^{2}-y^{2}}-\frac{2 y-y^{2}}{y^{2}-x^{2}} = \frac{x^{2}-2 x}{x^{2}-y^{2}}+\frac{2 y-y^{2}}{x^{2}-y^{2}}\)

Затем мы объединяем числители:

\(\frac{x^{2}-2 x+2 y-y^{2}}{x^{2}-y^{2}}\)

Мы можем разложить квадраты разностей:

\(\frac{(x-y)(x+y)-2(x-y)}{(x-y)(x+y)}\)

Теперь мы можем сократить общий множитель:

\(\frac{(x-y)(x+y-2)}{(x-y)(x+y)} = \frac{x+y-2}{x+y}\)

Таким образом, исходное выражение равно \(\frac{x+y-2}{x+y}\).