Дополнительные упражнения к главе I — К параграфу 2 — 225 — стр. 57

Исходное выражение: \(\frac{(y-b)^{2}}{y-b+1}+\frac{y-b}{y-b+1}\).

Мы начинаем с суммы двух дробей:

\(\frac{(y-b)^{2}}{y-b+1}+\frac{y-b}{y-b+1} = \frac{(y-b)^{2}+(y-b)}{y-b+1} = \frac{(y-b+1)(y-b)}{y-b+1}\)

Мы видим, что \((y-b+1)\) в числителе и знаменателе сокращаются:

\(\frac{(y-b+1)(y-b)}{y-b+1} = y-b\)

Таким образом, исходное выражение равно \(y-b\).

Исходное выражение: \(\frac{(a+x)^{2}}{a+x-2}-\frac{2 a+2 x}{a+x-2}\).

Мы начинаем с разности двух дробей:

\(\frac{(a+x)^{2}}{a+x-2}-\frac{2 a+2 x}{a+x-2} = \frac{(a+x)^{2}-2(a+x)}{a+x-2}= \frac{(a+x-2)(a+x)}{a+x-2}\)

Мы видим, что \((a+x-2)\) в числителе и знаменателе сокращаются:

\(\frac{(a+x-2)(a+x)}{a+x-2} = a+x\)

Таким образом, исходное выражение равно \(a+x\).

Исходное выражение: \(\frac{x^{2}-y^{2}}{x-y-1}+\frac{x+y}{y-x+1}\).

Мы начинаем с суммы двух дробей:

\(\frac{x^{2}-y^{2}}{x-y-1}+\frac{x+y}{y-x+1} = \frac{x^{2}-y^{2}}{x-y-1}-\frac{x+y}{x-y-1} = \frac{(x-y)(x+y)-(x+y)}{x-y-1}= \frac{(x-y-1)(x+y)}{x-y-1}\)

Мы видим, что \((x-y-1)\) в числителе и знаменателе сокращаются:

\(\frac{(x-y-1)(x+y)}{x-y-1} = x+y\)

Таким образом, исходное выражение равно \(x+y\).

Исходное выражение: \(\frac{b^{2}-9 c^{2}}{b+3 c-2}+\frac{2(b-3 c)}{2-b-3 c}\).

Мы начинаем с суммы двух дробей:

\(\frac{b^{2}-9 c^{2}}{b+3 c-2}+\frac{2(b-3 c)}{2-b-3 c} = \frac{b^{2}-9 c^{2}}{b+3 c-2}-\frac{2(b-3 c)}{b+3 c-2}\)

Теперь мы можем объединить числители:

\(\frac{b^{2}-9 c^{2}-2(b-3 c)}{b+3 c-2}=\frac{(b-3 c)(b+3c)-2(b-3 c)}{b+3 c-2}\)

Мы можем разложить выражение в числителе:

\(\frac{(b+3 c-2)(b-3c)}{b+3 c-2}\)

Сокращаем:

\(\frac{(b+3 c-2)(b-3c)}{b+3 c-2}=b-3c\)

Таким образом, исходное выражение равно \(b-3c\).