Дополнительные упражнения к главе I — К параграфу 2 — 237 — стр. 59

Исходное уравнение:

\(\frac{1}{a(a-b)(a-c)}+\frac{1}{b(b-c)(b-a)}+\frac{1}{c(c-a)(c-b)}=\frac{1}{a(a-b)(a-c)}-\frac{1}{b(b-c)(a-b)}+\frac{1}{c(a-c)(b-c)}\)

Преобразуем первые два слагаемых:

\(\frac{1}{a(a-b)(a-c)}-\frac{1}{b(b-c)(a-b)} \\= \frac{1}{a-b}(\frac{1}{a(a-c)}-\frac{1}{b(b-c)}) \\= \frac{b^2-b c-a^2+a c}{a b(a-b)(b-c)(a-c)} \\= \frac{-(a^2-b^2)+c(a-b)}{a b(a-b)(b-c)(a-c)} \\= \frac{(a-b)(c-(a+b))}{a b(a-b)(b-c)(a-c)} \\= \frac{c-a-b}{a b(b-c)(a-c)}\)

Теперь объединим все слагаемые:

\(\frac{c-a-b}{a b(b-c)(a-c)}+\frac{1}{c(a-c)(b-c)} \\= \frac{c(c-a-b)+a b}{a b c(b-c)(a-c)} \\= \frac{c(c-b)+a(b-c)}{a b c(b-c)(a-c)} \\= \frac{(b-c)(a-c)}{a b c(b-c)(a-c)}\)

\(= \frac{1}{a b c}\).

Исходное уравнение:

\(\frac{x^2}{(x-y)(x-z)}+\frac{y^2}{(y-x)(y-z)}+\frac{z^2}{(z-x)(z-y)}=\frac{x^2}{(x-y)(x-z)}-\frac{y^2}{(x-y)(y-z)}+\frac{z^2}{(z-x)(y-z)}\)

Преобразуем первые два слагаемых:

\(\frac{x^2}{(x-y)(x-z)}-\frac{y^2}{(x-y)(y-z)} \\= \frac{1}{x-y}(\frac{x^2}{x-z}-\frac{y^2}{y-z}) \\= \frac{x^2(y-z)-y^2(x-z)}{(x-y)(y-z)(x-z)} \\= \frac{x^2 y-x^2 z-y^2 x+y^2 z}{(x-y)(y-z)(x-z)} \\= \frac{x y(x-y)-z(x^2-y^2)}{(x-y)(y-z)(x-z)} \\= \frac{(x-y)(x y-z(x+y))}{(x-y)(y-z)(x-z)} \\= \frac{x y-z(x+y)}{(y-z)(x-z)}\)

Теперь объединим все слагаемые:

\(\frac{x y-z(x+y)}{(y-z)(x-z)}+\frac{z^2}{(x-z)(y-z)} \\= \frac{x y-z x-z y+z^2}{(x-z)(y-z)} \\= \frac{x(y-z)-z(y-z)}{(x-z)(y-z)} \\= \frac{(x-z)(y-z)}{(x-z)(y-z)}\)

\(= 1\).