Дополнительные упражнения к главе I — К параграфу 2 — 237 — стр. 59

Исходное уравнение:

$\frac{1}{a(a-b)(a-c)}+\frac{1}{b(b-c)(b-a)}+\frac{1}{c(c-a)(c-b)}=\frac{1}{a(a-b)(a-c)}-\frac{1}{b(b-c)(a-b)}+\frac{1}{c(a-c)(b-c)}$

Преобразуем первые два слагаемых:

$$\begin{gathered} \frac{1}{a(a-b)(a-c)}-\frac{1}{b(b-c)(a-b)} \\ =\frac{1}{a-b}(\frac{1}{a(a-c)}-\frac{1}{b(b-c)}) \\ =\frac{b^2-bc-a^2+ac}{ab(a-b)(b-c)(a-c)} \\ =\frac{-(a^2-b^2)+c(a-b)}{ab(a-b)(b-c)(a-c)} \\ =\frac{(a-b)(c-(a+b))}{ab(a-b)(b-c)(a-c)} \\ =\frac{c-a-b}{ab(b-c)(a-c)} \end{gathered}$$

Теперь объединим все слагаемые:

$$\begin{gathered} \frac{c-a-b}{ab(b-c)(a-c)}+\frac{1}{c(a-c)(b-c)} \\ =\frac{c(c-a-b)+ab}{abc(b-c)(a-c)} \\ =\frac{c(c-b)+a(b-c)}{abc(b-c)(a-c)} \\ =\frac{(b-c)(a-c)}{abc(b-c)(a-c)} \end{gathered}$$

$=\frac{1}{abc}$.

Исходное уравнение:

$\frac{x^2}{(x-y)(x-z)}+\frac{y^2}{(y-x)(y-z)}+\frac{z^2}{(z-x)(z-y)}=\frac{x^2}{(x-y)(x-z)}-\frac{y^2}{(x-y)(y-z)}+\frac{z^2}{(z-x)(y-z)}$

Преобразуем первые два слагаемых:

$$\begin{gathered} \frac{x^2}{(x-y)(x-z)}-\frac{y^2}{(x-y)(y-z)} \\ =\frac{1}{x-y}(\frac{x^2}{x-z}-\frac{y^2}{y-z}) \\ =\frac{x^2(y-z)-y^2(x-z)}{(x-y)(y-z)(x-z)} \\ =\frac{x^{2}y-x^{2}z-y^{2}x+y^{2}z}{(x-y)(y-z)(x-z)} \\ =\frac{xy(x-y)-z(x^2-y^2)}{(x-y)(y-z)(x-z)} \\ =\frac{(x-y)(xy-z(x+y))}{(x-y)(y-z)(x-z)} \\ =\frac{xy-z(x+y)}{(y-z)(x-z)} \end{gathered}$$

Теперь объединим все слагаемые:

$$\begin{gathered} \frac{xy-z(x+y)}{(y-z)(x-z)}+\frac{z^2}{(x-z)(y-z)} \\ =\frac{xy-zx-zy+z^2}{(x-z)(y-z)} \\ =\frac{x(y-z)-z(y-z)}{(x-z)(y-z)} \\ =\frac{(x-z)(y-z)}{(x-z)(y-z)} \end{gathered}$$

$=1$.