Дополнительные упражнения к главе I — К параграфу 2 — 242 — стр. 59

\(\frac{5 x}{(x-2)(x+3)}=\frac{a(x+3)+b(x-2)}{(x-2)(x+3)}=\frac{(a+b) x+(3 a-2 b)}{(x-2)(x+3)}\)

Из условия равенства коэффициентов при одинаковых степенях \(x\) в числителе получаем систему:

\(\begin{cases}a+b=5 \\3 a-2 b=0\end{cases}\)

Решим:

\(\begin{cases}2 a+2 b = 10 \\3 a-2 b = 0\end{cases}\)

Отсюда \(5 a=10\), следовательно, \(a=2\) и \(b=5-a=3\).

\(\frac{5 x+31}{(x-5)(x+2)}=\frac{a}{x-5}-\frac{b}{x+2}=\frac{a(x+2)-b(x-5)}{(x-5)(x+2)}=\frac{(a-b) x+(2 a+5 b)}{(x-5)(x+2)}\)

Получаем систему:

\(\begin{cases}a-b=5 \\2 a+5 b=31\end{cases}\)

Решим:

\(\begin{cases}2 a-2 b = 10 \\2 a+5 b = 31\end{cases}\)

\(-7b=-21\)

\(b=3\)

\(a=5+b=8\)

Получаем \(a=8\) и \(b=3\).