Дополнительные упражнения к главе I — К параграфу 3 — 246 — стр. 60

Выражение упрощается до \( 1 - \frac{x}{2} \), где \( x \) подлежит условию \( x > 2 \).

Давайте рассмотрим процесс упрощения подробнее.

Имеем:
\((\frac{x+1}{2 x}+\frac{4}{x+3}-2): \frac{x+1}{x+3}-\frac{x^{2}-5 x+3}{2 x}\)
Произведем вычисления по шагам:
Начнем с объединения дробей в скобках:
\(= \frac{(x+1)(x+3)+8 x-4 x(x+3)}{2 x(x+3)} \cdot \frac{x+3}{x+1}-\frac{x^{2}-5 x+3}{2 x}\)
Разложим скобки и сократим:
\(= \frac{x^{2}+4 x+3+8 x-4 x^{2}-12 x}{2 x(x+1)}-\frac{x^{2}-5 x+3}{2 x}= \frac{3-3 x^{2}}{2 x(x+1)}-\frac{x^{2}-5 x+3}{2 x}\)
Разложим дальше:
\(= \frac{3(1-x)(1+x)}{2 x(x+1)}-\frac{x^{2}-5 x+3}{2 x}= \frac{3(1-x)}{2 x}-\frac{x^{2}-5 x+3}{2 x}\)
Приведем подобные члены:
\(= \frac{3-3 x-x^{2}+5 x-3}{2 x}= \frac{-x^{2}+2 x}{2 x}= \frac{x(2-x)}{2 x}= \frac{2-x}{2}\)
Получаем окончательный результат:
\(= 1 - \frac{x}{2}\)
Теперь к условиям. У нас дано, что \( x > 2 \). Отсюда следует, что \( \frac{x}{2} > 1 \), и \( 1 - \frac{x}{2} < 0 \).

Таким образом, мы доказали, что при любом значении \(x\), большем 2 , значение выражения \((\frac{x+1}{2 x}+\frac{4}{x+3}-2): \frac{x+1}{x+3}-\frac{x^{2}-5 x+3}{2 x}\) является отрицательным числом.