Дополнительные упражнения к главе I — К параграфу 3 — 246 — стр. 60

Выражение упрощается до $1-\frac{x}{2}$, где $x$ подлежит условию $x>2$.

Давайте рассмотрим процесс упрощения подробнее.

Имеем:
$(\frac{x+1}{2x}+\frac{4}{x+3}-2):\frac{x+1}{x+3}-\frac{x^2-5x+3}{2x}$
Произведем вычисления по шагам:
Начнем с объединения дробей в скобках:
$=\frac{(x+1)(x+3)+8x-4x(x+3)}{2x(x+3)}\cdot \frac{x+3}{x+1}-\frac{x^2-5x+3}{2x}$
Разложим скобки и сократим:
$=\frac{x^2+4x+3+8x-4x^2-12x}{2x(x+1)}-\frac{x^2-5x+3}{2x}=\frac{3-3x^2}{2x(x+1)}-\frac{x^2-5x+3}{2x}$
Разложим дальше:
$=\frac{3(1-x)(1+x)}{2x(x+1)}-\frac{x^2-5x+3}{2x}=\frac{3(1-x)}{2x}-\frac{x^2-5x+3}{2x}$
Приведем подобные члены:
$=\frac{3-3x-x^2+5x-3}{2x}=\frac{-x^2+2x}{2x}=\frac{x(2-x)}{2x}=\frac{2-x}{2}$
Получаем окончательный результат:
$=1-\frac{x}{2}$
Теперь к условиям. У нас дано, что $x>2$. Отсюда следует, что $\frac{x}{2}>1$, и $1-\frac{x}{2}<0$.

Таким образом, мы доказали, что при любом значении $x$, большем 2 , значение выражения $(\frac{x+1}{2x}+\frac{4}{x+3}-2):\frac{x+1}{x+3}-\frac{x^2-5x+3}{2x}$ является отрицательным числом.