ГДЗ по алгебре за 8 класс Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова - Алгебра - Учебник

Дополнительные упражнения к главе I — К параграфу 3 — 250 — стр. 61

Одно из тождеств, приведённых знаменитым математиком XVIII в. Л. Эйлером, выглядит так:
a3+b3+(b(2a3+b3)a3b3)3=(a(a3+2b3)a3b3)3.
Докажите его.

Итак, мы имеем тождество, которое мы хотим доказать:
a3+b3+(b(2a3+b3)a3b3)3=(a(a3+2b3)a3b3)3

Перепишем:
a3+b3=(a(a3+2b3)a3b3)3(b(2a3+b3)a3b3)3

Давайте перепишем это тождество и проведем некоторые алгебраические преобразования, чтобы доказать его.
a3(1+(ba)3)=(a4(1+2(ba)3)a3(1(ba)3))3(b4(2(ab)3+1)b3((ab)31))3
a3(1+(ba)3)=a3(1+2(ba)31(ba)3)3b3(2(ab)3+1(ab)31)3
1+(ba)3=(1+2(ba)31(ba)3)3(ba)3(2(ab)3+1(ab)31)3

Обозначим c=ba.

Теперь проведем алгебраические преобразования:
1+c3=(1+2c31c3)3c3(2c3+11c31)3
1+c3=(1+2c31c3)3c3(2+c31c3)3
(1+c3)(1c3)3=(1+2c3)3c3(2+c3)3

Рассмотрим левую часть:
(1+c3)(1c3)3=(1c6)(12c3+c6)
=12c3+c6c6+2c9c12=12c3+2c9c12

Рассмотрим правую часть:
(1+2c3)3c3(2+c3)3=1+6c3+12c6+8c9c3(8+12c3+6c6+c9)
=12c3+2c9c12

Мы видим, что правая часть и левая часть после преобразований совпадают, что доказывает исходное тождество.казано.

Решебник

"Алгебра - Учебник" по предмету Алгебра за 8 класс.

Aвторы:

Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И., Суворова С.Б.

Задание

Одно из тождеств, приведённых знаменитым математиком XVIII в. Л. Эйлером, выглядит так: a3+b3+(b(2a3+b3)a3b3)3=(a(a3+2b3)a3b3)3. Докажите его.