Дополнительные упражнения к главе I — К параграфу 3 — 250 — стр. 61

Итак, мы имеем тождество, которое мы хотим доказать:
\(a^{3}+b^{3}+(\frac{b(2 a^{3}+b^{3})}{a^{3}-b^{3}})^{3}=(\frac{a(a^{3}+2 b^{3})}{a^{3}-b^{3}})^{3}\)

Перепишем:
\(a^3+b^3=\left(\frac{a\left(a^3+2 b^3\right)}{a^3-b^3}\right)^3-\left(\frac{b\left(2 a^3+b^3\right)}{a^3-b^3}\right)^3\)

Давайте перепишем это тождество и проведем некоторые алгебраические преобразования, чтобы доказать его.
\(a^3\left(1+\left(\frac{b}{a}\right)^3\right)=\left(\frac{a^4\left(1+2\left(\frac{b}{a}\right)^3\right)}{a^3\left(1-\left(\frac{b}{a}\right)^3\right)}\right)^3-\left(\frac{b^4\left(2\left(\frac{a}{b}\right)^3+1\right)}{b^3\left(\left(\frac{a}{b}\right)^3-1\right)}\right)^3\)
\(a^3\left(1+\left(\frac{b}{a}\right)^3\right)=a^3\left(\frac{1+2\left(\frac{b}{a}\right)^3}{1-\left(\frac{b}{a}\right)^3}\right)^3-b^3\left(\frac{2\left(\frac{a}{b}\right)^3+1}{\left(\frac{a}{b}\right)^3-1}\right)^3\)
\(1+\left(\frac{b}{a}\right)^3=\left(\frac{1+2\left(\frac{b}{a}\right)^3}{1-\left(\frac{b}{a}\right)^3}\right)^3-\left(\frac{b}{a}\right)^3\left(\frac{2\left(\frac{a}{b}\right)^3+1}{\left(\frac{a}{b}\right)^3-1}\right)^3\)

Обозначим \( c = \frac{b}{a} \).

Теперь проведем алгебраические преобразования:
\(1+c^3= \left(\frac{1+2 c^3}{1-c^3}\right)^3-c^3\left(\frac{\frac{2}{c^3}+1}{\frac{1}{c^3}-1}\right)^3 \)
\(1+c^3=\left(\frac{1+2 c^3}{1-c^3}\right)^3-c^3\left(\frac{2+c^3}{1-c^3}\right)^3\)
\(\left(1+c^3\right)\left(1-c^3\right)^3=\left(1+2 c^3\right)^3-c^3\left(2+c^3\right)^3\)

Рассмотрим левую часть:
\(\left(1+c^3\right)\left(1-c^3\right)^3 = \left(1-c^6\right)\left(1-2c^3+c^6\right)\)
\(=1-2 c^3+c^6-c^6+2 c^9-c^{12}= 1 - 2 c^3 + 2 c^9 - c^{12}\)

Рассмотрим правую часть:
\( \left(1+2 c^3\right)^3 - c^3\left(2+c^3\right)^3=1+6c^3+12c^6+8c^9-c^3(8+12c^3+6c^6+c^9)\)
\(= 1 - 2 c^3 + 2 c^9 - c^{12}\)

Мы видим, что правая часть и левая часть после преобразований совпадают, что доказывает исходное тождество.казано.