Дополнительные упражнения к главе I — К параграфу 3 — 251 — стр. 61

Данное уравнение состоит из нескольких шагов алгебраических преобразований, направленных на упрощение выражения. Давайте разберем каждый шаг:
Исходное уравнение:
\(\frac{\frac{3}{2} a^{2}-2 a b+\frac{2}{3} b^{2}}{\frac{1}{4} a^{2}-\frac{1}{9} b^{2}}+\frac{6 b}{\frac{3}{4} a+\frac{1}{2} b}= \frac{36(\frac{3}{2} a^{2}-2 a b+\frac{2}{3} b^{2})}{36(\frac{1}{4} a^{2}-\frac{1}{9} b^{2})}+\frac{4 \cdot 6 b}{4(\frac{3}{4} a+\frac{1}{2} b)}\)
Упрощение числителя и знаменателя:
\(= \frac{54 a^{2}-72 a b+24 b^{2}}{9 a^{2}-4 b^{2}}+\frac{24 b}{3 a+2 b}= \frac{6(9 a^{2}-12 a b+4 b^{2})}{(3 a-2 b)(3 a+2 b)}+\frac{24 b}{3 a+2 b}\)
Сокращение и упрощение:
\(= \frac{6(3 a-2 b)^{2}}{(3 a-2 b)(3 a+2 b)}+\frac{24 b}{3 a+2 b} = \frac{6(3 a-2 b)}{3 a+2 b}+\frac{24 b}{3 a+2 b}\)
Сокращение:
\(= \frac{6(3 a-2 b+4 b)}{3 a+2 b} = \frac{6(3 a+2 b)}{3 a+2 b} = 6\)
Итак, значение данного выражения равно 6 и не зависит от переменных \( a \) и \( b \).