Дополнительные упражнения к главе I — К параграфу 3 — 252 — стр. 61

Рассмотрим уравнение:

\(\frac{x-\frac{y z}{y-z}}{y-\frac{x z}{x-z}}\)

Разделим числитель на знаменатель:

\(= (x-\frac{y z}{y-z}):(y-\frac{x z}{x-z})= \frac{x y-x z-y z}{y-z}: \frac{x y-y z-x z}{x-z}\)

Выразим деление как умножение на обратное значение:

\(= \frac{x y-x z-y z}{y-z} \cdot \frac{x-z}{x y-y z-x z}\)

Упростим выражение:

\(= \frac{x-z}{y-z}\)

Таким образом, получаем ответ.

Рассмотрим уравнение:

\(\frac{\frac{a-x}{a}+\frac{x}{a-x}}{\frac{a+x}{a}-\frac{x}{a+x}}\)

Разделим числитель на знаменатель:

\(= (\frac{a-x}{a}+\frac{x}{a-x}):(\frac{a+x}{a}-\frac{x}{a+x})= \frac{(a-x)^{2}+a x}{a(a-x)}: \frac{(a+x)^{2}-a x}{a(a+x)}\)

Выразим деление как умножение на обратное значение:

\(= \frac{(a-x)^{2}+a x}{a(a-x)} \cdot \frac{a(a+x)}{(a+x)^{2}-a x}\)

Упростим выражение:

\(= \frac{(a^{2}-a x+x^{2})(a+x)}{(a^{2}+a x+x^{2})(a-x)}= \frac{a^{3}-a^2x+ax^2+a^{2}x-ax^2+x^3}{a^{3}+a^2 x+ax^{2}-a^2x-ax^2-x^3}=\frac{a^{3}+x^{3}}{a^{3}-x^{3}}\).

Рассмотрим уравнение:

\(\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{x}}}= \frac{1}{1+\frac{1}{\frac{x+1}{x}}}\)

Выразим деление как умножение на обратное значение:

\(= \frac{1}{1+\frac{x}{x+1}}\)

Упростим выражение:

\(= \frac{1}{\frac{2 x+1}{x+1}}=\frac{x+1}{2 x+1}\).

Рассмотрим уравнение:

\(\frac{1}{1-\frac{1}{1+\frac{1}{x}}}= \frac{1}{1-\frac{1}{\frac{x+1}{x}}}\)

Выразим деление как умножение на обратное значение:

\(= \frac{1}{1-\frac{x}{x+1}}\)

Упростим выражение:

\(= \frac{1}{\frac{1}{x+1}}=x+1\).