Дополнительные упражнения к главе I — К параграфу 3 — 256 — стр. 62

Данное решение проводит доказательство справедливости равенства, связанного со средней гармонической. Давайте рассмотрим каждый шаг:
Средняя гармоническая:
\(z = \frac{2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}} = \frac{2ab}{a+b}\)
Подстановка \(z\) в левую часть равенства:
\(\frac{1}{z-a} + \frac{1}{z-b} = \frac{1}{\frac{2ab}{a+b}-a} + \frac{1}{\frac{2ab}{a+b}-b}\)
Упрощение выражений:
\(= \frac{a+b}{2ab-a^2-ab} + \frac{a+b}{2ab-ab-b^2}=\)
\(= (a+b)(\frac{1}{ab-a^2}+\frac{1}{ab-b^2})=\)
\(= (a+b)(\frac{1}{a(b-a)}-\frac{1}{b(b-a)})\)
Дальнейшие преобразования:
\(= (a+b)\frac{(b-a)}{ab(b-a)}= \frac{a+b}{ab}= \frac{a}{ab} + \frac{b}{ab}= \frac{1}{b} + \frac{1}{a}= \frac{1}{a} + \frac{1}{b}\)
Равенство выполняется.