Дополнительные упражнения к главе II — К параграфу 4 — 462 — стр. 108

\(\sqrt{x^{3}} \Rightarrow x^{3} \geq 0 \Rightarrow x \geq 0\) - В данной задаче мы рассматриваем квадратный корень из \(x\) в третьей степени. Поскольку квадратный корень из любого неотрицательного числа также неотрицателен, то \(x\) должно быть неотрицательным.

\(\sqrt{x^{4}} \Rightarrow x^{4} \geq 0 \Rightarrow x \in \mathbb{R}\) - В данном случае, мы исследуем квадратный корень из \(x\) в четвертой степени. Так как любое число, возведенное в четную степень, неотрицательно, \(x\) может принимать любые действительные значения.

\(\sqrt{x^{2}+1} \Rightarrow x^{2}+1 \geq 0 \Rightarrow x \in \mathbb{R}\) - Здесь мы рассматриваем квадратный корень из суммы \(x\) второй степени и 1. Так как квадрат любого действительного числа неотрицателен, то \(x\) может быть любым действительным числом.

\(\sqrt{(4-x)^{2}} \Rightarrow(4-x)^{2} \geq 0 \Rightarrow x \in \mathbb{R}\) - В данной задаче мы изучаем квадратный корень из квадрата разности 4 и \(x\). Так как квадрат любого действительного числа неотрицателен, \(x\) может принимать любые действительные значения.

\(\sqrt{-x^{2}} \Rightarrow-x^{2} \geq 0 \Rightarrow x^{2} \leq 0 \Rightarrow x=0\) - Здесь мы анализируем квадратный корень из отрицательного числа, что возможно только при \(x=0\), так как квадрат любого числа не может быть отрицательным.

\(\sqrt{-x^{3}} \Rightarrow-x^{3} \geq 0 \Rightarrow x^{3} \leq 0 \Rightarrow x \leq 0\) - В данной ситуации мы рассматриваем квадратный корень из отрицательного \(x\) в третьей степени. Это возможно только при условии, что \(x\) является неположительным числом.