Дополнительные упражнения к главе II — К параграфу 4 — 468 — стр. 109

Рассмотрим уравнение $\sqrt{x}=x+b$.

Преобразуем его:

$$\begin{gathered} \sqrt{x}=x+b \\ x-\sqrt{x}+b=0 \\ (\sqrt{x}{)}^2-\sqrt{x}+b=0 \end{gathered}$$

Вычислим дискриминант:

$D=1-4b\ge 0$

Чтобы уравнение имело корни, необходимо, чтобы $b$ удовлетворяло условию $b\le \frac{1}{4}$.

Значения $\sqrt{x}$ определяются как:

$\sqrt{x}=\frac{1\pm \sqrt{1-4b}}{2}\ge 0$

Если $b>\frac{1}{4}$, корней нет. При $b=\frac{1}{4}$ получаем один корень $\sqrt{x}=\frac{1}{2}\Rightarrow x=\frac{1}{4}$. При $0\le b<\frac{1}{4}$ получаем два корня $\sqrt{x}=\frac{1\pm \sqrt{1-4b}}{2}\Rightarrow x=\frac{(1\pm \sqrt{1-4b}{)}^2}{4}$. При $b<0$ получаем один корень $\sqrt{x}=\frac{1+\sqrt{1-4b}}{2}\Rightarrow x=\frac{(1+\sqrt{1-4b}{)}^2}{4}$.

Теперь рассмотрим уравнение $\sqrt{x}=-x+b$.

Преобразуем его:

$$\begin{gathered} \sqrt{x}=-x+b \\ x+\sqrt{x}-b=0 \\ (\sqrt{x}{)}^2+\sqrt{x}-b=0 \end{gathered}$$

Вычислим дискриминант:

$D=1+4b\ge 0$

Чтобы уравнение имело корни, необходимо, чтобы $b$ удовлетворяло условию $b\ge -\frac{1}{4}$.

Значения $\sqrt{x}$ определяются как:

$\sqrt{x}=\frac{-1\pm \sqrt{1+4b}}{2}\ge 0$

Поскольку $-1-\sqrt{1+4b}<0$ для всех $b$, остается только:

$\sqrt{x}=\frac{-1+\sqrt{1+4b}}{2}\ge 0$

Требование $-1+\sqrt{1+4b}\ge 0$ дает $b\ge 0$.

Если $b<0$, корней нет. При $b\ge 0$ получаем один корень $x=\frac{(\sqrt{1+4b}-1{)}^2}{4}$.