Вертикаль
2018
Докажите, что при любом значении переменной значение выражения положительно:
a) \(a^{2}+4 a+11\);
б) \(\frac{x^{2}-2 x+7}{19}\);
в) \(m^{2}-4 m+51\);
г) \(\frac{p^{2}-6 p+18}{p^{2}+1}\)
д) \(2 b^{2}-8 b+20\);
е) \(\frac{2 c^{2}+3}{e^{2}+12 c+40}\).
а
Рассмотрим уравнение \(a^2 + 4a + 11 = (a^2 + 4a + 4) + 7 = (a + 2)^2 + 7\). Так как квадрат суммы \( (a + 2)^2 \) всегда неотрицательный, то \( (a + 2)^2 + 7 \geq 7 > 0 \).
б
Рассмотрим уравнение \( \frac{x^2 - 2x + 7}{19} = \frac{(x^2 - 2x + 1) + 6}{19} \geq \frac{6}{19} > 0 \). Так как числитель всегда неотрицательный, а знаменатель положительный, то дробь положительна.
в
Рассмотрим уравнение \( m^2 - 4m + 51 = (m^2 - 4m + 4) + 47 = (m - 2)^2 + 47 \geq 47 > 0 \). Так как квадрат суммы \( (m - 2)^2 \) всегда неотрицательный, а прибавление положительного числа не изменяет знак, то утверждение верно.
г
Рассмотрим уравнение \( \frac{p^2 - 6p + 18}{p^2 + 1} = \frac{(p^2 - 6p + 9) + 9}{p^2 + 1} = \frac{(p - 3)^2 + 9}{p^2 + 1} \). Числитель всегда положителен, так как это квадрат суммы и положительное число. Знаменатель также положителен, так как является суммой положительного числа и единицы.
д
Рассмотрим уравнение \( 2b^2 - 8b + 20 = 2(b^2 - 4b + 10) = 2((b - 2)^2 + 6) \geq 12 > 0 \). Выражение в скобках является квадратом и неотрицательным, а при умножении на положительное число результат также неотрицателен.
е
Рассмотрим уравнение \( \frac{2c^2 + 18}{c^2 + 12c + 40} = \frac{2c^2 + 18}{(c^2 + 12c + 36) + 4} = \frac{2c^2 + 18}{(c + 6)^2 + 4} \). Числитель всегда положителен, так как это квадрат суммы и положительное число. Знаменатель также положителен, так как является суммой положительного числа и четырёх.
Решебник
"Алгебра - Учебник" по предмету Алгебра за 8 класс.
Aвторы:
Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И., Суворова С.Б.
Задание
Докажите, что при любом значении переменной значение выражения положительно: a) \(a^{2}+4 a+11\); б) \(\frac{x^{2}-2 x+7}{19}\); в) \(m^{2}-4 m+51\); г) \(\frac{p^{2}-6 p+18}{p^{2}+1}\) д) \(2 b^{2}-8 b+20\); е) \(\frac{2 c^{2}+3}{e^{2}+12 c+40}\).
Еще решебники за 8 класс
Мы подобрали сборники ГДЗ за 8 класс, которые могут быть Вам интересны.
