Дополнительные упражнения к главе III — К параграфу 7 — 745 — стр. 175

Рассмотрим уравнение \(a^2 + 4a + 11 = (a^2 + 4a + 4) + 7 = (a + 2)^2 + 7\). Так как квадрат суммы \( (a + 2)^2 \) всегда неотрицательный, то \( (a + 2)^2 + 7 \geq 7 > 0 \).

Рассмотрим уравнение \( \frac{x^2 - 2x + 7}{19} = \frac{(x^2 - 2x + 1) + 6}{19} \geq \frac{6}{19} > 0 \). Так как числитель всегда неотрицательный, а знаменатель положительный, то дробь положительна.

Рассмотрим уравнение \( m^2 - 4m + 51 = (m^2 - 4m + 4) + 47 = (m - 2)^2 + 47 \geq 47 > 0 \). Так как квадрат суммы \( (m - 2)^2 \) всегда неотрицательный, а прибавление положительного числа не изменяет знак, то утверждение верно.

Рассмотрим уравнение \( \frac{p^2 - 6p + 18}{p^2 + 1} = \frac{(p^2 - 6p + 9) + 9}{p^2 + 1} = \frac{(p - 3)^2 + 9}{p^2 + 1} \). Числитель всегда положителен, так как это квадрат суммы и положительное число. Знаменатель также положителен, так как является суммой положительного числа и единицы.

Рассмотрим уравнение \( 2b^2 - 8b + 20 = 2(b^2 - 4b + 10) = 2((b - 2)^2 + 6) \geq 12 > 0 \). Выражение в скобках является квадратом и неотрицательным, а при умножении на положительное число результат также неотрицателен.

Рассмотрим уравнение \( \frac{2c^2 + 18}{c^2 + 12c + 40} = \frac{2c^2 + 18}{(c^2 + 12c + 36) + 4} = \frac{2c^2 + 18}{(c + 6)^2 + 4} \). Числитель всегда положителен, так как это квадрат суммы и положительное число. Знаменатель также положителен, так как является суммой положительного числа и четырёх.