Дополнительные упражнения к главе III — К параграфу 7 — 756 — стр. 176

У нас есть прямоугольник с сторонами \(a\) и \(b\), где \(a > b\).

По условию, периметр прямоугольника равен 28, то есть \(2(a + b) = 28\), а также известно, что \(a^2 + b^2 = 116\).

Мы составляем систему уравнений:
\(\begin{cases}a + b = 14 \\a^2 + b^2 = 116\end{cases}\)
Решаем систему:
Из первого уравнения находим, что \(a = 14 - b\).

Подставляем \(b\):
\(a^2+(14 - a)^2 = 116\)
Раскрываем скобки и приводим подобные:
\(a^2+196 - 28a + a^2 = 116\)
\(2a^2 - 28a + 80 = 0\)
\(a^2 - 14a + 40 = 0\)
\((a - 4)(a - 10) = 0\)
Отсюда получаем \(a_1 = 4\), \(a_2 = 10\).

Так как \(a > b\), выбираем больший корень \(a = 10\). Тогда \(b = 4\).

Таким образом, получаем стороны прямоугольника: \(10\) см и \(4\) см.

Ответ: \(10\) см и \(4\) см.