Дополнительные упражнения к главе III — К параграфу 7 — 763 — стр. 176

Мы начинаем с записи первого нечётного натурального числа как \(n = 2k - 1\), где \(k \in \mathbb{N}\).

Затем мы записываем следующее нечётное натуральное число как \(n + 2 = 2k + 1\).

Далее, мы используем разность кубов:
\((2k+1)^3 - (2k-1)^3 = 866\)
Раскрываем скобки и получаем:
\((2k+1 - (2k-1)) ( (2k+1)^2 + (2k+1)(2k-1) + (2k-1)^2 ) = 866\)
После вычислений мы получаем:
\(2 \cdot (4k^2 + 4k + 1 + 4k^2 - 1 + 4k^2 - 4k + 1) = 866\)
Это приводит нас к уравнению:
\(12k^2 + 1 = 433\)
И, далее:
\(12k^2 = 432\)
Решая это уравнение, мы находим:
\(k^2 = 36\)
И, наконец, мы находим корни:
\(k = \pm 6\)
Поскольку \(k\) должно быть натуральным числом, мы выбираем \(k = 6\).

Таким образом, искомые нечётные числа: \(2k - 1 = 11\) и \(2k + 1 = 13\).

Ответ: 11 и 13.