Дополнительные упражнения к главе III — К параграфу 8 — 789 — стр. 178

Рассмотрим уравнение \(2x^2 - 3x + 7\).

Мы можем переписать его как половину квадратного трехчлена \(4x^2 - 6x + 14\) и выразить его в виде полного квадрата:

\(2x^2 - 3x + 7 = \frac{1}{2}(4x^2 - 6x + 14) =\)

\(= \frac{1}{2}((2x)^2 - 2 \cdot 2x \cdot \frac{3}{2} + (\frac{3}{2})^2) + 14 - \frac{9}{4}) =\)

\(= \frac{1}{2}(2x + \frac{3}{2})^2 + \frac{1}{2}\cdot\frac{47}{4}=\frac{1}{2}(2x + \frac{3}{2})^2 + 5\frac{7}{8}\).

Рассмотрим уравнение \(-3x^2 + 4x - 1\).

Мы можем переписать его как \(-\frac{1}{3}(9x^2 - 12x + 3)\) и выразить его в виде полного квадрата:

\(-3x^2 + 4x - 1 = -\frac{1}{3}(9x^2 - 12x + 3) =\)

\(= -\frac{1}{3}(((3x)^2 - 2 \cdot 3x \cdot 2 + 2^2) + 3 - 4) =\)

\(= -\frac{1}{3}(3x - 2)^2 - \frac{1}{3}\cdot(-1)=\frac{1}{3}(3x - 2)^2 + \frac{1}{3}\).

Рассмотрим уравнение \(5x^2 - 3x\).

Мы можем переписать его как \(\frac{1}{5}(25x^2 - 15x)\) и выразить его в виде полного квадрата:

\(5x^2 - 3x = \frac{1}{5}(25x^2 - 15x)=\)

\(= \frac{1}{5}((5x)^2 - 2 \cdot 5x \cdot \frac{3}{2} + (\frac{3}{2})^2) - \frac{9}{4} =\)

\(= \frac{1}{5}(5x - \frac{3}{2})^2 - \frac{1}{5}\cdot\frac{9}{4}= \frac{1}{5}(5x - \frac{3}{2})^2 - \frac{9}{20}\).

Рассмотрим уравнение \(-4x^2 + 8x\).

Мы можем переписать его как \(-4(x^2 - 2x)\) и выразить его в виде полного квадрата:

\(-4x^2 + 8x = -4(x^2 - 2x) =\)

\(= -4((x^2 - 2x + 1) - 1) =\)

\(= -4(x - 1)^2 + 4\).