Вертикаль
2018
Найдите корни уравнения:
а) \(\frac{x \sqrt{3}+\sqrt{2}}{x \sqrt{3}-\sqrt{2}}+\frac{x \sqrt{3}-\sqrt{2}}{x \sqrt{3}+\sqrt{2}}=\frac{10 x}{3 x^{2}-2}\);
б) \(\frac{1-y \sqrt{5}}{1+y \sqrt{5}}+\frac{1+y \sqrt{5}}{1-y \sqrt{5}}=\frac{9 y}{1-5 y^{2}}\).
а
Для начала приведем исходное уравнение к общему знаменателю:
\(\frac{x \sqrt{3}+\sqrt{2}}{x \sqrt{3}-\sqrt{2}}+\frac{x \sqrt{3}-\sqrt{2}}{x \sqrt{3}+\sqrt{2}}=\frac{10}{3 x^2-2} \)
\(\frac{x \sqrt{3}+\sqrt{2}}{x \sqrt{3}-\sqrt{2}}+\frac{x \sqrt{3}-\sqrt{2}}{x \sqrt{3}+\sqrt{2}}=\frac{10 x}{(x \sqrt{3}-\sqrt{2})(x \sqrt{3}+\sqrt{2})} \)
\(x \sqrt{3}-\sqrt{2} \neq 0 \Rightarrow x \sqrt{3} \neq \sqrt{2}\Rightarrow x \neq \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{6}}{3}\)
\(x \sqrt{3}+\sqrt{2} \neq 0 \Rightarrow x \sqrt{3} \neq -\sqrt{2}\Rightarrow x \neq -\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}=-\frac{\sqrt{6}}{3}\)
\(\frac{(x \sqrt{3}+\sqrt{2})^2+(x \sqrt{3}-\sqrt{2})^2}{(x \sqrt{3}-\sqrt{2})(x \sqrt{3}+\sqrt{2})}=\frac{10x}{(x \sqrt{3}-\sqrt{2})(x \sqrt{3}+\sqrt{2})} \)
\((x \sqrt{3})^2 + 2x\sqrt{3} \cdot \sqrt{2} + (\sqrt{2})^2 +(x \sqrt{3})^2 - 2x\sqrt{3} \cdot \sqrt{2} + (\sqrt{2})^2 = 10x\)
Раскроем скобки и сократим:
\(3 x^2+2 x \sqrt{6}+2+3 x^2-2 x \sqrt{6}+2=10 x \)
Упростим выражение и приравняем к 0:
\(6x^2 - 10x + 4 = 0\)
\(3x^2 - 5x + 2 = 0\)
Решим квадратное уравнение и найдем дискриминант:
\(D = (-5)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 2 = 25 - 24 = 1\)
Теперь используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения:
\(x = \frac{5 \pm \sqrt{1}}{2 \cdot 3} = \frac{5 \pm 1}{6}\)
\(x_1 = 1, \quad x_2 = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}\)
Ответ: \(x = 1\) и \(x = \frac{2}{3}\).
б
\(\frac{1-y \sqrt{5}}{1+y \sqrt{5}}+\frac{1+y \sqrt{5}}{1-y \sqrt{5}}=\frac{9 y}{1-5 y^2}\)
\(\frac{1-\mathrm{y} \sqrt{5}}{1+\mathrm{y} \sqrt{5}}+\frac{1+\mathrm{y} \sqrt{5}}{1-\mathrm{y} \sqrt{5}}=\frac{9 \mathrm{y}}{(1+\mathrm{y} \sqrt{5})(1-\mathrm{y} \sqrt{5})} \)
Упростим уравнение, раскрыв скобки и сократив:
\((1 - y\sqrt{5})^2 + (1 + y\sqrt{5})^2 = 9y\)
\(1-2 \cdot 1 \cdot y\sqrt{5}+(y\sqrt{5})^2+1+2 \cdot 1 \cdot y\sqrt{5}+(y\sqrt{5})^2=9y \)
\(1-2y\sqrt{5}+5y^2+1+2y\sqrt{5}+5y^2=9y \)
\(10y^2 - 9y + 2 = 0\)
Найдем дискриминант:
\(D = (-9)^2 - 4 \cdot 10 \cdot 2 = 81 - 80 = 1\)
Используя формулу для корней квадратного уравнения:
\(x = \frac{9 \pm \sqrt{1}}{2 \cdot 10} = \frac{9 \pm 1}{20}\)
\(x_1 = 0.5, \quad x_2 = \frac{8}{20} = 0.4\)
Ответ: \(x = 0.5\) и \(x = 0.4\).
Решебник
"Алгебра - Учебник" по предмету Алгебра за 8 класс.
Aвторы:
Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И., Суворова С.Б.
Задание
Найдите корни уравнения: а) \(\frac{x \sqrt{3}+\sqrt{2}}{x \sqrt{3}-\sqrt{2}}+\frac{x \sqrt{3}-\sqrt{2}}{x \sqrt{3}+\sqrt{2}}=\frac{10 x}{3 x^{2}-2}\); б) \(\frac{1-y \sqrt{5}}{1+y \sqrt{5}}+\frac{1+y \sqrt{5}}{1-y \sqrt{5}}=\frac{9 y}{1-5 y^{2}}\).
Еще решебники за 8 класс
Мы подобрали сборники ГДЗ за 8 класс, которые могут быть Вам интересны.
