Дополнительные упражнения к главе III — К параграфу 9 — 804 — стр. 180

Рассмотрим уравнение:

\(\frac{2x+1}{2x-1} - \frac{3(2x-1)}{7(2x+1)} + \frac{8}{1-4x^2} = 0\)

Первым шагом приведем дроби к общему знаменателю:

\(\frac{2x+1}{2x-1} - \frac{3(2x-1)}{7(2x+1)} - \frac{8}{(2x-1)(2x+1)} = 0\)

Убеждаемся, что исключаем нулевые знаменатели: \(2x - 1 \neq 0 \) и \(2x + 1 \neq 0\), отсюда \(x \neq 0.5, -0.5\).

Умножим обе части уравнения на общий знаменатель, чтобы избавиться от дробей:

\((2x+1) \cdot 7(2x+1) - 3(2x-1)(2x-1) - 8 \cdot 7 = 0\)

Развернем скобки и приведем подобные члены:

\(7(4x^2 + 4x + 1) - 3(4x^2 - 4x + 1) - 56 = 0\)

\(28x^2 + 28x + 7 - 12x^2 + 12x - 3 - 56 = 0\)

\(16x^2 + 40x - 52 = 0\)

\(4x^2 + 10x - 13 = 0\)

Найдем дискриминант:

\(D = 10^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-13) = 100 + 208 = 308\)

Найдем корни уравнения:

\(x = \frac{-10 \pm \sqrt{308}}{2 \cdot 4} = \frac{-10 \pm \sqrt{4 \cdot 77}}{8} = \frac{-10 \pm 2\sqrt{77}}{8} = \frac{-5 \pm \sqrt{77}}{4}\)

Таким образом, решение уравнения: \(x_1 = \frac{-5 + \sqrt{77}}{4}\) и \(x_2 = \frac{-5 - \sqrt{77}}{4}\).

Ответ: \(x_1 = \frac{-5 + \sqrt{77}}{4}\), \(x_2 = \frac{-5 - \sqrt{77}}{4}\).

Рассмотрим уравнение:

\(\frac{y}{y^2-9} - \frac{1}{y^2+3y} + \frac{3}{6y+2y^2} = 0\)

Приведем дроби к общему знаменателю:

\(\frac{y}{(y-3)(y+3)} - \frac{1}{y(y+3)} + \frac{3}{2y(3+y)} = 0\)

Убеждаемся, что исключаем нулевые знаменатели: \(y \neq 3, -3\).

Приведем уравнение к общему знаменателю и приведем подобные члены:

\(y \cdot 2y - 1\cdot 2(y-3) + 3(y-3) = 0\)

\(2y^2 - 2y + 6 + 3y - 9 = 0\)

\(2y^2 + y - 3 = 0\)

Вычислим дискриминант:

\(D = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 1 + 24 = 25\)

Найдем корни уравнения:

\(y = \frac{-1 \pm \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{-1 \pm 5}{4}\)

Таким образом, решение уравнения: \(y_1 = 1\), \(y_2 = \frac{-6}{4} = -1.5\).

Ответ: \(y_1 = 1\), \(y_2 = -1.5\).

\(\frac{2 y-1}{14 y^2+7 y}+\frac{8}{12 y^2-3}=\frac{2 y+1}{6 y^2-3 y}\)

Приведение к общему знаменателю:

\(\frac{2 y-1}{7 y(2 y+1)}+\frac{8}{3(4 y^2-1)}=\frac{2 y+1}{3 y(2 y-1)}\)

Установка условий для \(y\):

\(y \neq 0; y\neq -0.5; y\neq 0.5\)

Умножение обеих сторон на общий знаменатель:

\( (2 y-1) \cdot 3(2 y-1) + 8 \cdot 7 y = (2 y+1) \cdot 7(2 y+1) \)

Решение квадратного уравнения:

\( -16 y^2 + 16 y - 4 = 0 \)

\( 4 y^2 - 4 y + 1 = 0 \)

\( (2 y - 1)^2 = 0 \)

\( 2 y - 1 = 0 \)

\( 2 y = 1 \)

\( y = \frac{1}{2} \)

\( y = 0.5 \) не является решением.

Ответ: Нет корней.

Исходное уравнение:

\(\frac{3}{x^2-9}-\frac{1}{9-6x+x^2}=\frac{3}{2x^2+6x}\)

Приведение к общему знаменателю:

\(\frac{3}{(x-3)(x+3)}-\frac{1}{(3-x)^2}=\frac{3}{2x(x+3)}\)

Установка условий для \(x\):

\( x \neq 3, \quad x \neq -3, \quad x \neq 0 \)

Умножение обеих сторон на общий знаменатель:

\( 3 \cdot 2x(x-3) - 1 \cdot 2x(x+3) = 3(x-3)^2 \)

Решение квадратного уравнения:

\( x^2 - 6x - 27 = 0 \)

По теореме Виета:

\( x_1 = 9, \quad x_2 = -3 \)

\( x = -3 \) не является решением.

Ответ: 9.

Исходное уравнение:

\(\frac{9x+12}{x^3-64}-\frac{1}{x^2+4x+16}=\frac{1}{x-4}\)

Приведение к общему знаменателю:

\(\frac{9x+12}{(x-4)(x^2+4x+16)}-\frac{1}{x^2+4x+16}=\frac{1}{x-4}\)

Установка условий для \(x\):

\( x \neq 4 \)

Проверка дискриминанта:

\( D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot 16 = 16 - 64 < 0 \)

Умножение обеих сторон на общий знаменатель:

\( (9x+12) - 1 \cdot (x-4) = 1 \cdot (x^2+4x+16) \)

Решение уравнения:

\(9 x+12-x+4=x^2+4 x+16\)

\(-x^2+4 \mathrm{x}=0\)

\(x(-x+4)=0\)

\(x=0\) или \(-x+4=0\)

\(-x=-4\)

\(x=4\) - не является корнем

Ответ: 0.

Исходное уравнение:

\(\frac{3}{8y^3+1}-\frac{1}{2y+1}=\frac{y+3}{4y^2-2y+1}\)

Приведение к общему знаменателю:

\(\frac{3}{(2y+1)(4y^2-2y+1)}-\frac{1}{2y+1}=\frac{y+3}{4y^2-2y+1}\)

Установка условий для \(y\):

\( 2y+1 \neq 0, \)значит \( y \neq -0,5 \)

\(4y^2-2y+1 \neq 0 \)

Проверка дискриминанта:

\( D = (-2)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 1 = 4 - 16 < 0 \) корней нет

Умножение обеих сторон на общий знаменатель:

\( 3 - 4y^2 + 2y - 1 = 2y^2 + 6y + y + 3 \)

Решение квадратного уравнения:

\( -6y^2 - 5y - 1 = 0 \)

\( 6y^2 + 5y + 1 = 0 \)

\( D = 5^2 - 4 \cdot 6 \cdot 1 = 1 \)

\( y = \frac{-5 \pm 1}{12} \)

\( y_1 = -0.5 \quad y_2 = -\frac{1}{3} \)

Получили, что \( y = -\frac{1}{3} \) является решением.

Ответ: \( -\frac{1}{3} \).