Дополнительные упражнения к главе IV — К параграфу 11 — 1017 — стр. 227

Нам нужно доказать неравенство \(a^2 + b^2 + 2 \geq 2(a + b)\).

Выразим левую и правую части и вычтем их друг из друга:

\(a^2 + b^2 + 2 - 2(a + b) \\= a^2 + b^2 + 2 - 2a - 2b \\= a^2 - 2a + 1 + b^2 - 2b + 1 \\= (a - 1)^2 + (b - 1)^2\)

Так как \((a - 1)^2 \geq 0\) и \((b - 1)^2 \geq 0\), то \((a - 1)^2 + (b - 1)^2 \geq 0\). Следовательно, \(a^2 + b^2 + 2 \geq 2(a + b)\).

Нам нужно доказать неравенство \(a^2 + b^2 + c^2 + 5 > 2(a + b + c)\).

Выразим левую и правую части и вычтем их друг из друга:

\(a^2 + b^2 + c^2 + 5 - 2(a + b + c) \\= a^2 + b^2 + c^2 + 5 - 2a - 2b - 2c \\= a^2 - 2a + 1 + b^2 - 2b + 1 + c^2 - 2c + 1 + 2 \\= (a - 1)^2 + (b - 1)^2 + (c - 1)^2 + 2\)

Так как \((a - 1)^2 \geq 0\), \((b - 1)^2 \geq 0\), и \((c - 1)^2 \geq 0\), то \((a - 1)^2 + (b - 1)^2 + (c - 1)^2 + 2 \geq 0\). Следовательно, \(a^2 + b^2 + c^2 + 5 > 2(a + b + c)\).