Дополнительные упражнения к главе IV — К параграфу 11 — 1018 — стр. 227

Нам дано выражение \((\frac{a-3}{a+3}-\frac{a+3}{a-3})(1+\frac{3}{a})\). Разберем его:

\((\frac{a-3}{a+3}-\frac{a+3}{a-3})(1+\frac{3}{a}) \\= \frac{(a-3)^2 - (a+3)^2}{(a+3)(a-3)} \cdot \frac{a+3}{a} \\= \frac{a^2 - 6a + 9 - (a^2 + 6a + 9)}{(a+3)(a-3)} \cdot \frac{a+3}{a} \\= \frac{-12a}{a(a-3)}\)

Поскольку \(a > 3\), то \(a(a-3) > 0\), а \(-12a < 0\). Следовательно, \(\frac{-12a}{a(a-3)} < 0\).

Таким образом, утверждение доказано.

Разберем выражение \(\frac{y^2+3}{y-1}-\frac{2}{y}:(\frac{1}{y^2-y}+\frac{y-3}{y^2-1})\):

\(\frac{y^2+3}{y-1}-\frac{2}{y}:(\frac{1}{y^2-y}+\frac{y-3}{y^2-1}) \\= \frac{y^2+3}{y-1} - \frac{2}{y} \cdot \frac{y(y-1)(y+1)}{(y-1)^2} \\= \frac{(y^2+3)(y-1) - 2y(y+1) + 2(y-1)^2}{(y-1)^2} \\= \frac{y^3 - 3y^2 + 3y - 1}{(y-1)^2} \\= \frac{(y-1)^3}{(y-1)^2} \\= y-1 > 0 \text{ при } y > 1\)

Таким образом, утверждение доказано.