Дополнительные упражнения к главе IV — К параграфу 11 — 1019 — стр. 228

Изначально у нас есть следующая ситуация: пусть \( x \) км/ч - скорость катера в стоячей воде, а \( y \) км/ч - скорость течения реки. Тогда \( (x+y) \) км/ч - скорость катера при движении по течению и \( (x-y) \) км/ч - скорость катера против течения реки.

Рассмотрим время в пути: \( \frac{20}{x+y} \) ч - время движения по течению, \( \frac{20}{x-y} \) ч - время движения против течения, \( \frac{40}{x} \) ч - время движения в стоячей воде, \( (\frac{20}{x+y}+\frac{20}{x-y}) \) ч - время движения по реке.

Теперь сравним \( \frac{20}{x+y}+\frac{20}{x-y} \) и \( \frac{40}{x} \):
\(\frac{20}{x+y}+\frac{20}{x-y} - \frac{40}{x} = \frac{20 \cdot x(x-y) + 20 \cdot x(x+y) - 40 \cdot (x-y)(x+y)}{x(x-y)(x+y)} =\)
\(= \frac{20x^2 - 20xy + 20x^2 + 20xy - 40x^2 + 40y^2}{x(x-y)(x+y)} =\)
\(= \frac{40y^2}{x(x^2-y^2)}\)
Поскольку \( x > y \), то \( x^2 - y^2 > 0 \). Таким образом, \( \frac{40y^2}{x(x^2-y^2)} > 0 \). Следовательно, \( \frac{20}{x+y}+\frac{20}{x-y}-\frac{40}{x} > 0 \), что означает \( \frac{20}{x+y}+\frac{20}{x-y} > \frac{40}{x} \).

Ответ: Больше времени затратит на путь 20 км по течению и 20 км против течения реки.