Дополнительные упражнения к главе IV — К параграфу 11 — 1020 — стр. 228

Пусть \( x \) км/ч - скорость лодки в стоячей воде, \( y \) км/ч - скорость течения первой реки. Тогда \( (x+y) \) км/ч - скорость лодки по течению первой реки, \( (x-y) \) км/ч - скорость лодки против течения первой реки. \( s \) км - расстояние, на которое отплыла лодка.

\( t_1 = (\frac{s}{x+y}+\frac{s}{x-y}) \) ч - время, затраченное лодкой на путь по первой реке.

\( z \) км/ч - скорость течения второй реки. Тогда \( (x+z) \) км/ч - скорость лодки по течению второй реки, \( (x-z) \) км/ч - скорость лодки против течения второй реки. Также \( s \) км - расстояние, на которое отплыла лодка. \( t_2 = (\frac{s}{x+z}+\frac{s}{x-z}) \) ч - время, затраченное лодкой на путь по второй реке.

Сравним \( t_1 \) и \( t_2 \):
\(t_1 - t_2 = \frac{s}{x+y}+\frac{s}{x-y}-(\frac{s}{x+z}+\frac{s}{x-z}) \\= \frac{s(x-y)+s(x+y)}{(x+y)(x-y)}-\frac{s(x-z)+s(x+z)}{(x+z)(x-z)} \\= \frac{2sx}{(x+y)(x-y)}-\frac{2sx}{(x+z)(x-z)}\)

Числители дробей одинаковы, сравним знаменатели:
\((x+y)(x-y)-(x+z)(x-z)=x^2-y^2-x^2+z^2=z^2-y^2\)
\(\text{Так как } y < z, \text{ то } z^2 - y^2 > 0,\)
\(\text{следовательно, } (x+y)(x-y)-(x+z)(x-z) > 0\)
\(\text{и } \frac{2sx}{(x+y)(x-y)} < \frac{2sx}{(x+z)(x-z)},\)
\(\text{следовательно, } t_1 - t_2 < 0.\)

Ответ: Лодка затратила больше времени во второй день.