Дополнительные упражнения к главе IV — К параграфу 11 — 1022 — стр. 228

Итак, дано, что \( x, y \) и \( z \) - стороны треугольника. Тогда \( \frac{x+y+z}{2} \) - полупериметр треугольника.

Согласно неравенству треугольника, сумма двух любых сторон должна быть больше третьей стороны. Таким образом:
1. \( x+y>z \): \( \frac{x+y+z}{2} > \frac{z+z}{2} \Rightarrow \frac{x+y+z}{2} > z\).
2. \( x+z>y \): \( \frac{x+y+z}{2} > \frac{y+y}{2} \Rightarrow \frac{x+y+z}{2} > y\).
3. \( y+z>x \): \( \frac{x+y+z}{2} > \frac{y+y}{2} \Rightarrow \frac{x+y+z}{2} > y \).

Таким образом, полупериметр треугольника больше длины каждой из его сторон.