Дополнительные упражнения к главе IV — К параграфу 11 — 1023 — стр. 228

Итак, пусть $x$ и $y$ - стороны прямоугольника, и $x\ne y$. Тогда $2(x+y)$ - периметр прямоугольника и квадрата. Если $a$ - сторона квадрата, то $4a$ - периметр квадрата.

У нас уравнение:
$2(x+y)=4a$
$x+y=2a$
Отсюда следует, что $a=\frac{x+y}{2}$ - сторона квадрата.

Площадь квадрата $\frac{(x+y{)}^2}{4}$, а площадь прямоугольника $xy$.

Теперь сравним площади квадрата и прямоугольника:
$\frac{(x+y{)}^2}{4}-xy=\frac{x^2+2xy+y^2-4xy}{4}=\frac{x^2-2xy+y^2}{4}=\frac{(x-y{)}^2}{4}>0$

Следовательно, $\frac{(x+y{)}^2}{4}-xy>0$ и $\frac{(x+y{)}^2}{4}>xy$.

Таким образом, площадь квадрата больше площади прямоугольника.