Дополнительные упражнения к главе IV — К параграфу 11 — 1023 — стр. 228

Итак, пусть \( x \) и \( y \) - стороны прямоугольника, и \( x \neq y \). Тогда \( 2(x+y) \) - периметр прямоугольника и квадрата. Если \( a \) - сторона квадрата, то \( 4a \) - периметр квадрата.

У нас уравнение:
\(2(x+y)=4a\)
\(x+y=2a\)
Отсюда следует, что \( a=\frac{x+y}{2} \) - сторона квадрата.

Площадь квадрата \( \frac{(x+y)^2}{4} \), а площадь прямоугольника \( xy \).

Теперь сравним площади квадрата и прямоугольника:
\(\frac{(x+y)^2}{4}-xy=\frac{x^2+2xy+y^2-4xy}{4}=\frac{x^2-2xy+y^2}{4}=\frac{(x-y)^2}{4}>0\)

Следовательно, \(\frac{(x+y)^2}{4}-xy>0\) и \(\frac{(x+y)^2}{4}>xy\).

Таким образом, площадь квадрата больше площади прямоугольника.