Дополнительные упражнения к главе IV — К параграфу 11 — 1025 — стр. 228

Для неравенства $(a+b)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b})\ge 4$ проведем следующие преобразования:

$(a+b)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b})-4$

$=\frac{(a+b)b+(a+b)a}{ab}$

$=\frac{ab+b^2+a^2+ab}{ab}$

$=\frac{a^2+2ab+b^2}{ab}$

$=\frac{(a+b{)}^2}{ab}$

Так как квадрат числа всегда неотрицателен, а произведение $ab$ положительно ($a>0,b>0$), то $\frac{(a+b{)}^2}{ab}\ge 0$. Следовательно, исходное неравенство доказано: $(a+b)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b})\ge 4$.

Для неравенства $\frac{a}{b^2}+\frac{b}{a^2}\ge \frac{1}{a}+\frac{1}{b}$ проведем преобразования:

$\frac{a}{b^2}+\frac{b}{a^2}-(\frac{1}{a}+\frac{1}{b})$

$=\frac{a^3+b^3}{a^2{b}^2}-\frac{b+a}{ab}$

$=\frac{a^3+b^3-ab(a+b)}{a^2{b}^2}$

$=\frac{a^3+b^3-a^{2}b-a{b}^2}{a^2{b}^2}$

$=\frac{a^2(a-b)+b^2(b-a)}{a^2{b}^2}$

$=\frac{a^2(a-b)-b^2(a-b)}{a^2{b}^2}$

$=\frac{(a-b)(a^2-b^2)}{a^2{b}^2}$

$=\frac{(a-b{)}^2(a+b)}{a^2{b}^2}$

Так как $a>0$ и $b>0$, то $a+b>0$, $(a-b{)}^2\ge 0$, и $\frac{(a-b{)}^2(a+b)}{a^2{b}^2}\ge 0$. Следовательно, исходное неравенство доказано: $\frac{a}{b^2}+\frac{b}{a^2}\ge \frac{1}{a}+\frac{1}{b}$.