Дополнительные упражнения к главе IV — К параграфу 11 — 1025 — стр. 228

Для неравенства \((a+b)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}) \geq 4\) проведем следующие преобразования:

\((a+b)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}) - 4 \)

\(= \frac{(a+b)b + (a+b)a}{ab} \)

\(= \frac{ab + b^2 + a^2 + ab}{ab} \)

\(= \frac{a^2 + 2ab + b^2}{ab} \)

\(= \frac{(a+b)^2}{ab}\)

Так как квадрат числа всегда неотрицателен, а произведение \(ab\) положительно (\(a > 0, b > 0\)), то \(\frac{(a+b)^2}{ab} \geq 0\). Следовательно, исходное неравенство доказано: \((a+b)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}) \geq 4\).

Для неравенства \(\frac{a}{b^2} + \frac{b}{a^2} \geq \frac{1}{a} + \frac{1}{b}\) проведем преобразования:

\(\frac{a}{b^2} + \frac{b}{a^2} - (\frac{1}{a} + \frac{1}{b})\)

\(= \frac{a^3 + b^3}{a^2b^2} - \frac{b + a}{ab} \)

\(= \frac{a^3 + b^3 - ab(a + b)}{a^2b^2} \)

\(= \frac{a^3 + b^3 - a^2b - ab^2}{a^2b^2} \)

\(= \frac{a^2(a - b) + b^2(b - a)}{a^2b^2} \)

\(= \frac{a^2(a - b) - b^2(a - b)}{a^2b^2}\)

\(= \frac{(a - b)(a^2 - b^2)}{a^2b^2} \)

\(= \frac{(a - b)^2(a + b)}{a^2b^2}\)

Так как \(a > 0\) и \(b > 0\), то \(a + b > 0\), \((a - b)^2 \geq 0\), и \(\frac{(a - b)^2(a + b)}{a^2b^2} \geq 0\). Следовательно, исходное неравенство доказано: \(\frac{a}{b^2} + \frac{b}{a^2} \geq \frac{1}{a} + \frac{1}{b}\).