Полярная звезда
2016
Используя соотношение между средним арифметическим и средним геометрическим двух положительных чисел, докажите, что при \(a>0, b>0, c>0\) верно неравенство:
а) \(a c+\frac{b}{c} \geq 2 \sqrt{a b}\)
б) \((1+\frac{a^{2}}{b c})(1+\frac{b^{2}}{a c})(1+\frac{c^{2}}{a b}) \geq 8\).
а
Для доказательства неравенства \(a c + \frac{b}{c} \geq 2 \sqrt{a b}\), мы воспользуемся следующим приемом:
\(ac + \frac{b}{c} \geq 2 \sqrt{ac \cdot \frac{b}{c}} \)
\(ac + \frac{b}{c} \geq 2 \sqrt{ab}\)
Таким образом, неравенство доказано.
б
Для доказательства неравенства \((1+\frac{a^2}{bc})(1+\frac{b^2}{ac})(1+\frac{c^2}{ab}) \geq 8\), мы воспользуемся следующим приемом:
\((1+\frac{a^2}{bc})(1+\frac{b^2}{ac})(1+\frac{c^2}{ab}) \geq 2 \sqrt{1 \cdot \frac{a^2}{bc}} \cdot 2 \sqrt{1 \cdot \frac{b^2}{ac}} \cdot 2 \sqrt{1 \cdot \frac{c^2}{ab}} =\)
\((1+\frac{a^2}{bc})(1+\frac{b^2}{ac})(1+\frac{c^2}{ab})= 8 \sqrt{\frac{a^2}{bc} \cdot \frac{b^2}{ac} \cdot \frac{c^2}{ab}} =\)
\((1+\frac{a^2}{bc})(1+\frac{b^2}{ac})(1+\frac{c^2}{ab})= 8\)
Таким образом, неравенство также доказано.
Решебник
"Алгебра - Учебник" по предмету Алгебра за 8 класс.
Aвторы:
Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И., Суворова С.Б.
Задание
Используя соотношение между средним арифметическим и средним геометрическим двух положительных чисел, докажите, что при \(a>0, b>0, c>0\) верно неравенство: а) \(a c+\frac{b}{c} \geq 2 \sqrt{a b}\) б) \((1+\frac{a^{2}}{b c})(1+\frac{b^{2}}{a c})(1+\frac{c^{2}}{a b}) \geq 8\).
Еще решебники за 8 класс
Мы подобрали сборники ГДЗ за 8 класс, которые могут быть Вам интересны.
