Дополнительные упражнения к главе VI — К параграфу 15 — 1264 — стр. 280

Итак, у нас дано квадратное уравнение: \(nx^2 - 5x + 1 = 0\). Мы заменяем коэффициенты исходного уравнения на коэффициенты вида \(x^2 - \frac{5}{n}x + \frac{1}{n} = 0\).

По теореме Виета, сумма корней равна \(x_1 + x_2 = \frac{5}{n}\), а произведение корней равно \(x_1x_2 = \frac{1}{n}\).

Теперь выражаем сумму квадратов обратных корней через найденные значения:
\(x_1^{-2}+x_2^{-2}=13\)
\(\frac{1}{x_1^2}+\frac{1}{x_2^2}\)\(=\frac{x_2^2+x_1^2}{x_1^2 x_2^2}\)\(=\frac{x_2^2+x_1^2+2 x_1 x_2-2 x_1 x_2}{x_1^2 x_2^2}\)\(=\frac{(x_1+x_2)^2-2 x_1 x_2}{x_1^2 x_2^2}=13\)
\(\frac{(\frac{5}{n})^2-2 \cdot \frac{1}{n}}{(\frac{1}{n})^2}=13\)
\(\frac{25}{n^2}-\frac{2}{n}=13 \cdot \frac{1}{n^2}\)
\(25-2 n=13\)
\(-2 n=-12\)
\(n=6\)
Таким образом, решение уравнения \(nx^2 - 5x + 1 = 0\) приводит к значению \(n = 6\).