Задачи повышенной трудности — Задачи — 1280 — стр. 282

У нас есть три дроби: \(\frac{x}{x+1}\), \(\frac{y}{y+1}\) и \(\frac{z}{z+1}\), и известно, что их сумма равна натуральному числу \(n\).

1. Начинаем с того, что каждая дробь является правильной, так как числитель меньше знаменателя.

2. Все дроби меньше 1, а их сумма меньше 3.

3. Каждая дробь не меньше 0,5, поэтому их сумма не меньше 1,5.

Таким образом, мы имеем ограничения: \(1.5 \leq \frac{x}{x+1} + \frac{y}{y+1} + \frac{z}{z+1} < 3\).

Также у нас есть целое число 2, лежащее между 1.5 и 3. Это означает, что:
\(\frac{x}{x+1} + \frac{y}{y+1} + \frac{z}{z+1} = 2\).

Так как числа \(x, y\) и \(z\) различны, решение уравнения будет \(x=1, y=2, z=5\).

Подставляем значения:
\(\frac{1}{1+1} + \frac{2}{2+1} + \frac{5}{5+1} = \frac{1}{2} + \frac{2}{3} + \frac{5}{6} = \frac{6+8+10}{12} = \frac{24}{12} = 2\).